Cuaterniones grupo como una extensión

Question

Estoy tratando de entender cómo los cuaterniones grupo Q surge como una extensión de $\mathbb{Z}_{4}$$\mathbb{Z}_{2}$. Más precisamente, estoy tratando de encontrar los dos homomorphisms en el corto secuencia exacta $\mathbb{Z}_{4} \to Q \to \mathbb{Z}_{2}$.

Por ahora, es bastante fácil encontrar un inyectiva homomorphism $\psi_1$$\mathbb{Z}_{4} \to Q$, así como para encontrar la surjective homormophism $\psi_2$ $Q \to \mathbb{Z}_{2}$ tal que $Ker(\psi_2)=Im(\psi_1)$. Sin embargo, yo me quedo con los 4 elementos en Q, que no sé cómo mapa a través de $\psi_2$.

Por cierto, hay una pregunta más general a mi problema (en realidad dos) :

• ¿Cómo hace uno para encontrar $\psi_1$ $\psi_2$ a partir de la estructura del grupo ?
• ¿Cómo recuperar la estructura del grupo de extensión, a sabiendas de $\psi_1$ $\psi_2$ (y de cualquier división de mapa que puede ocurrir).

Answer 1

Este intenta responder a su implícita la pregunta acerca de por qué ψ₁ y ψ₂ parecen tan similares a los D₈, P₈, y 4×2.

Supongamos que tenemos dos grupos (K, Q), (G), y dos funciones en una:K→G y b:G→Q tal que b(un(k)) = 1 es siempre la identidad de Q y si b(g) = 1, entonces g = un(k) para algunos de k en K. En otras palabras, casi nos sabemos una breve secuencia exacta de los grupos, excepto que no sabemos que G es en sí un grupo, y lo que no podemos saber si un y b son homomorphisms.

Podemos convertir G en un grupo para que tanto un y b son homomorphisms? Si es así, entonces hemos escrito G como una extensión de K y P y el corto exacta secuencias de conjuntos se ha convertido en una breve secuencia exacta de los grupos.

Vamos a probar un ejemplo específico: K es cíclico de orden 4 generado por x, Q es cíclico de orden 2 generado por s, y G es el conjunto de pares ordenados P × K, pero no asumimos la multiplicación es dada como el producto directo. Por supuesto, un(k) = (1,k) y b(q,k) = q.

Resulta que hay varias maneras de dar a G la estructura de un grupo, de forma que un, b son un grupo homomorphisms. Por ejemplo, podemos definir la evidente multiplicación: $$(q_1,k_1) \cdot (q_2,k_2) = (q_1 q_2, k_1 k_2) \quad\text{yielding }G \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$$ o podemos ser un poco más inteligente y definir: $$(q_1,k_1) \cdot (q_2,k_2) = (q_1 \cdot q_2, ~\phi(q_2)(k_1)\cdot k_2) \quad\text{yielding }G \cong D_8$$ donde $$\phi: Q \to \operatorname{Aut}(K):y\mapsto(k\mapsto k^{-1})$$ o podemos ser sólo un poquito extraño y definir: $$(q_1,k_1) \cdot (q_2,k_2) = (q_1 \cdot q_2, ~\phi(q_2)(k_1)\cdot k_2\cdot \zeta(q_1,q_2)) \quad\text{yielding }G \cong Q_8$$ donde φ es como antes y $$\zeta(q_1,q_2) = \begin{cases} x^2 & \text{if } q_1 = q_2 = y \\ x^0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

En esta, tuvimos que hacer dos bastante importantes decisiones, φ y ζ. Siempre K es abelian, estas opciones tienen una buena estructura algebraica. φ es la asignación a los K de un Q-estructura del módulo, y ζ es un 2-cocycle de P sobre K. Isomorfo Q-módulos de rendimiento isomorfo G (dado el "transportado" ζ), a pesar de que muchos ζ puede dar el mismo G. Normalmente uno de los cocientes a cabo por algunos muy obviamente-la-misma ζ llamado 2-coboundaries, y obtiene así ζ en el cociente se llama la segunda cohomology grupo H²(Q,K).

Answer 2

Jack Schmidt ya ha contestado la parte principal de su pregunta, pero su respuesta para su pregunta más general se limita a los se $K$ es abelian. Como el artículo de la Wikipedia sobre el Grupo de extensión señala: "el Grupo de extensión se describe generalmente como un problema difícil". Como consecuencia, usted probablemente ya tiene problemas para digerir la "restringido" respuesta de Jack Schmidt. Sin embargo, permítanme señalar que incluso se puede tratar el caso general, mediante la sustitución de $H^2(Q,K)$$H^2(Q,Z(K))$, y teniendo en cuenta una obstrucción en el tercer cohomology grupo $H^3(Q,Z(K))$ donde $Z(K)$ es el centro de la $K$.

Para ser honesto, aún así, los vinculados nota está bien escrito y fácil de leer, no entiendo, porque mi conocimiento de álgebra homológica no es lo suficientemente fuerte. Pero tengo la impresión de que si yo sabía lo suficiente de álgebra homológica para comprender plenamente el "restringido" respuesta de Jack Schmidt, también me gustaría entender completamente la respuesta para el "general" del caso. Sé que algunos de los libros que contienen el "restringido" respuesta de Jack Schmidt (y actualmente estoy leyendo uno de ellos), pero los enlaces de la nota es la única referencia que he podido encontrar para el caso general.

Answer 3

Por lo general, si $N$ es normal en $G$ con cociente isomorfo a $H$, a continuación, fije un isomorfismo $\psi_2$$G/N$$H$. Tenga en cuenta que el primero es un conjunto de cosets, mientras que el segundo es algunos abstractos grupo que tiene a priori nada que ver con $G$. Se fija un conjunto de coset representantes de $G/N=\{g_1 N,\ldots,g_kN\}$, y definir $\psi_2$ en estos cosets. Por ejemplo, si $G=Q_8=\langle x,y|x^2=y^2, xyx^{-1} = y^{-1}\rangle$, $N=\langle x\rangle$, a continuación, $G/N$ se compone de dos cosets, por ejemplo, representada por $1$$y$. Por supuesto, el elemento $yN$ es de orden 2, ya que $y^2\in N$. En este caso en particular, usted no tiene libertad alguna para la elección de $\psi_2$ una vez que se han fijado las $N$, pero en general usted puede.

Así que ahora, si desea evaluar la $\psi_2$ sobre cualquiera de las $gN$, determine la única $g_i$ entre el pre-elegido coset representantes, que $gN=g_iN$, y, a continuación,$\psi_2(gN)=\psi_2(g_iN)$. En tu ejemplo, todo lo que usted necesita saber es si $g\in N$ o no. Por ejemplo,$\psi_2(xyN) = \psi_2(yN)$, ya que el $y^{-1}xy\in N$ (como alternativa, debido a $xy\notin N$, que es todo lo que necesita saber en este caso).

Como para la recuperación de la estructura del grupo de conocer la extensión, podrían aclarar cómo la extensión es dado a usted?