¿Una función localmente inyectiva pero no globalmente inyectiva?

Question

Una función continua $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ se dice que es localmente inyectiva en $x_0 \in U$ si existe un barrio $V \subset U$ de $x_0$ s.t. $f|_V$ es inyectiva. $f$ se dice que localmente inyectiva en $U$ si es localmente inyectiva en todos los puntos de $U$ .

Si $n=1$ , claramente $f$ es localmente inyectiva en $U$ si es inyectiva en $U$ . Si $n >1$ Esto es falso (al menos es lo que yo creo).

¿Alguien conoce un contraejemplo, es decir, una función continua que sea localmente inyectiva en un espacio abierto $U$ pero no es inyectiva en $U$ ?

[ observación ] si $f$ es localmente inyectiva, por el teorema del dominio de invariancia es un homeomorfismo local. si $f$ es también propia (es decir, la contraimagen de un conjunto compacto es compacta), entonces también es un homeomorfismo global (teorema de Caccioppoli), y en consecuencia inyectivo. Esto significa que el contraejemplo no puede ser un mapa propio.

[ editar ] Me olvidé de especificar que estaba interesado en continuo funciones.

Answer 1

Una forma fácil de encontrar un ejemplo de este tipo es tomar cualquier función holomorfa no constante $f:U \to \mathbb{C}$ y tirar los puntos en los que $f' = 0$ . Una función holomorfa es localmente inyectiva si $f'(z) \neq 0$ por lo que sólo tenemos que asegurarnos de que la función no es globalmente inyectiva.

Como señalé en un comentario, podemos tomar $U = \mathbb{C} \smallsetminus \{0\}$ y $f(z) = z^n$ para $n \geq 2$ . O, si lo prefiere, $f(z) = e^z$ en todos los $\mathbb{C}$ para los ejemplos más simples.

Estos ejemplos son fácilmente ampliables a $\mathbb{R}^n$ , $n \geq 2$ simplemente escribiendo $\mathbb{R}^n = \mathbb{C} \times \mathbb{R}^{n-2} \ni(z,v)$ y considerando $g(z,v) = (f(z), v)$ . Dejo a tu creatividad la construcción de muchos más y más interesantes ejemplos.

Answer 2

Dejemos que $U\subset\mathbb{R}^2$ sea el conjunto $\{(x,y)|1\lt x\lt2 \& 0\lt y\lt7\}$ y $f$ sea $(x,y) \mapsto (x\times\sin(y), x\times\cos(y))$ . $f$ es localmente inyectiva en $U$ pero $f(1,0)=f(1,2\pi)$ .

Answer 3

Dejemos que U ⊂ R y que f : U ⊂ R $\to R^2$ sea t $\to$ ( $t^2$ - 1 , t( $t^2$ - 1)) . Es localmente inyectiva en todos los puntos de R pero no es inyectiva en ningún intervalo (-a,a) con $a\gt 1$ porque f(-1)=f(1)=(0,0)