Yo también soy un simple estudiante de posgrado que intenta resolver algunas de estas mismas cuestiones, pero puede que tenga alguna idea útil. Dejaré que seas tú quien juzgue.
La idea básica de la demostración de la ecuación del calor del teorema del índice es extraer el término correcto en la expansión asintótica para el núcleo del calor y luego apelar a la fórmula de McKean - Singer. Según tengo entendido, la estrategia original para hacer esto era darse cuenta de que el índice es un invariante del cobordismo y, por lo tanto, bastaría con hacer suficientes cálculos explícitos sobre los generadores del grupo de cobordismo hasta que se fijaran todos los parámetros libres; resulta que los espacios proyectivos complejos son una buena elección. Eso es exactamente lo que se hizo. Creo -y espero de verdad que alguien me corrija si me equivoco, ya que yo mismo no me he ensuciado las manos- que el cálculo requerido se reduce realmente a tratar con el oscilador armónico mecánico cuántico cuando se trabaja para $CP_2$ . Si esto es correcto, el primer indicio de que el oscilador armónico mecánico cuántico es importante vino de un ejemplo muy fundamental.
Pero creo que también es posible una respuesta más analítica. Digamos que en lugar de trabajar con un operador de Dirac que actúa sobre secciones suaves del haz de espinores, se considera el laplaciano escalar habitual que actúa sobre funciones. ¿Qué sucede si se imita la prueba del núcleo de calor en este contexto mucho menos sutil? Se acaba reproduciendo la fórmula asintótica de Weyl para los valores propios del laplaciano. En esencia, este cálculo equivale a reescalar la variable espacial para que tu operador se deforme en el operador de coeficiente constante obtenido por congelación de coeficientes. La idea básica del cálculo de Getzler es reescalar tanto la variable espacial como la métrica de Riemann de forma compatible - este reescalado deforma el álgebra de Clifford en el álgebra exterior (haciendo así que la multiplicación de Clifford actúe como un operador de orden uno) y por tanto el operador de Dirac en un operador de coeficiente polinómico. ¿De qué operador de coeficiente polinómico se trata? Hemos llegado al límite de mi capacidad para motivar más las cosas, pero la respuesta es el operador mecánico cuántico del oscilador armónico. Por supuesto, no tengo ni idea de si el significado físico de este operador se puede explicar según un argumento de reescalado similar.
También debo mencionar que el oscilador armónico mecánico cuántico no hace ninguna aparición obvia en las pruebas globales originales del teorema del índice. Sin embargo, hace una aparición no evidente a través de la periodicidad de Bott, que puede demostrarse esencialmente mediante la fórmula de Mehler. Nigel Higson y Eric Guenter escribieron un artículo muy ameno en el que explican la mayoría de los detalles de esta demostración, titulado algo así como "K-Theory and Group C* Algebras". Se puede encontrar en el sitio web de Nigel, www.math.psu.edu/higson.
Lo último que diré es que Getzler, Berligne y Verne me parecieron una forma bastante dura de penetrar en este material. El estilo vale la pena en parte del material posterior, pero creo que habría tenido muchos problemas para aprender la prueba del núcleo de calor del teorema del índice por primera vez a partir de ese libro. Podrías probar el libro de John Roe "Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods" en lugar de o como complemento.
Espero que esto haya sido útil.
