Repetición para la duración prevista del vector gaussiano

Question

Deje $g_k \sim N(0, I_{k \times k})$ ser un estándar $k$-dimensiones de Gauss vector.

Denotar por $\|g\|$ $2$- norma de $g$. Por explícito de integración, no es difícil ver que $$ \mathbb E \|g_k\| = \frac{\sqrt 2 \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac k 2\right)}\,, $$ donde $\Gamma$ es la función Gamma.

En particular, la expresión anterior implica \begin{equation*} \mathbb E \|g_k\|\mathbb E\|g_{k+1}\| = k\,. \end{ecuación*}

Esta fórmula le da un buen recurrencia de la duración esperada de un estándar de Gauss. La recurrencia es tan bonito que me gustaría ver una mancha de la prueba de este hecho, si uno existe.

Pregunta: ¿hay una elegante prueba de la recurrencia $\mathbb E \|g_k\|\mathbb E\|g_{k+1}\| = k$, lo que implica no explícitos de integración?

Answer 1

En dimensión $k$ allí es un % constante $C_k$que $$C_k \int_0^{\infty}r^{k-1}e^{-r^2/2}dr = 1.$$ It is not necessary to compute these constants as we will see. Now the expression for the product of expectations in radial form is $$\mathbb{E} \left(\lVert g_k \rVert\right)\mathbb{E} \left(\lVert g_{k+1} \rVert\right)=C_k\int_0^{\infty}r^k e^{-r^2/2}dr \cdot C_{k+1}\int_0^{\infty}r^{k+1} e^{-r^2/2}dr=$$ $$C_k\int_0^{\infty} r^2 r^{k-1} e^{-r^2/2} dr = \mathbb{E} \left(\lVert g_k \rVert^2 \right) = \mathbb{E} \left(X_1^2+\ldots+X_k^2\right)=k \mathbb{E} \left(X_1^2\right)=k.$$ Here $X_1,\ldots,X_k$ son iid variables normales estándar.

Answer 2

Una prueba de la "mancha" puede ser construida usando coordenadas polares para la $k$-integral dimensional. $r=\|g_k\|$ Definimos, para cualquier función $f(r)$, $$ \langle f(r) \rangle = \int_0^\infty {\rm e}^{-\frac{r^2}2}f(r)\ {\rm d}r \ ,$ $ así que $$ \mathbb E f(r) = \langle r^{k-1}f(r) \rangle \ .$ $ tenemos $$\mathbb E \|g_k\| = \frac{\langle r^k \rangle}{\langle r^{k-1} \rangle} \quad {\rm and} \quad \mathbb E \|g_k\|^2 = \frac{\langle r^{k+1} \rangle}{\langle r^k \rangle} \ ,$ $ y como una consecuencia $$ \mathbb E \|g_k\| \ \|g_{k+1}\| \mathbb E = r \frac{\langle ^ k \rangle}{\langle r ^ {k-1} \rangle} \frac{\langle r ^ {k+1} \rangle}{\langle r ^ k \rangle} = \mathbb E \|g_k\|^2 = k \. $$