¿Cómo ver $\operatorname{Spec} k[x]$ para no necesariamente algebraico cerrado campo $k$?

Question

Sé que $\operatorname{Spec} \mathbb{C}[x]$ puede identificarse con el conjunto de $\mathbb{C}\cup *$, donde $*$ es un punto genérico a través de la correspondencia \prod_{i}(x-a_i) \leftrightarrow \{a_i\}_i $$, \ \ \ \ \leftrightarrow (0) *. $$ Esta correspondencia es aplicable a cualquier $\operatorname{Spec} k[x]$ algebraico cerrado campo $k$.

Cuando $k$ no es algebraico cerrado, ¿cómo debe entender uno $\operatorname{Spec} k[x]$?

Answer 1

Nota correctamente en un comentario que los puntos de $\operatorname{Spec} k[x]$ corresponden a (monic) polinomios irreducibles, y es correcto que este puede ser identificado con el conjunto de $k\cup\{*\}$ al $k$ es algebraicamente cerrado.

Supongamos $\bar k$ algebraica de cierre de $k$. A continuación, la inclusión $k[x]\to\bar k[x]$ induce una de morfismos $\pi:\operatorname{Spec} \bar k[x]\to\operatorname{Spec} k[x]$ que es surjective como un mapa de conjuntos. Si tomamos un punto de $\operatorname{Spec} k[x]$ y pensar en él como un monic polinomio irreducible $p(x)$, la fibra de $\pi$ más que el punto es exactamente el conjunto de raíces de $p$. Para simplificar, vamos a suponer que $k$ es un perfecto campo (por ejemplo, se ha característica cero o es un campo finito), por lo que la extensión de $\bar k/k$ es de Galois. El grupo de Galois $G:=\operatorname{Gal}(\bar k/k)$ actúa en $\operatorname{Spec} \bar k[x]\simeq \bar k\cup\{*\}$ en la forma obvia (la fijación del punto de $*$), y de las fibras de $\pi$ son exactamente las órbitas de esta acción, así que podemos pensar de $\operatorname{Spec} k[x]$ como el cociente $(\bar k\cup\{*\})/G$.

Por ejemplo, si $k=\mathbb{R}$, podemos pensar de $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ como algo parecido a lo que tenemos por la toma del complejo de avión $\mathbb{C}$ y la identificación de complejos conjugados, es decir, plegado sobre sí misma a través de la línea real. (Que, junto con el genérico punto de $*$.)

Answer 2

Deje $\bar k$ ser una expresión algebraica cierre de $k$. Deje $G = Aut(\bar k/k)$. $\bar k/G$ el conjunto de $G$de las órbitas. Vamos a mostrar que existe una canónica bijection $Spec$ $k[x] \rightarrow \bar k/G\cup \{*\}$.

Vamos $Y =$ $Spec$ $k[x] - \{(0)\}$. Basta probar que existe un canónica bijection $\psi\colon Y \rightarrow \bar k/G$. Deje $p \in Y$. No existe un único monic polinomio irreducible $f(x) \in k[x]$ tal que $p = (f(x))$. Deje $S$ el conjunto de raíces de $f(x)$$\bar k$. Está claro que $S$ $G$- estable. Deje $\alpha, \beta \in S$. Existe una $k$-isomorfismo $k(\alpha) \rightarrow k(\beta)$ transformar $\alpha$$\beta$. Puede ser extendido a un $k$-automorphism de $\bar k$. Por lo tanto, no existe $\sigma \in G$ tal que $\sigma(\alpha) = \beta$. Por lo tanto $S \in \bar k/G$. Por lo tanto tenemos un mapa de $\psi\colon Y \rightarrow \bar k/G$ tal que $\psi(p) = S$. Claramente $\psi$ es inyectiva.

Deje $T \in \bar k/G$. Deje $\alpha \in T$. Deje $f(x)$ ser el polinomio mínimo de a$\alpha$$k$. Claramente $\psi((f(x)) = T$. Por lo tanto $\psi$ es surjective.