Probabilidad de jugador ' ruina s con desigual pérdidas

Question

Ha pasado algún tiempo leyendo otras preguntas acerca de la ruina del jugador, pero no pudo encontrar la respuesta que estaba buscando. En la mayoría de las preguntas, se asume el jugador gana \$1 or loses \$1. Me resulta curioso ver cómo se podría abordar el problema con un beneficio o pérdida que no es igual.

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de ruina en un jugador que empieza con \$1000.00 who wins \$41.00 con probabilidad 0.6 y pierde \$43.00 con probabilidad 0.4? ¿Es posible generalizar esta solución?

Saludos, Josh

Answer 1

El siguiente trabajo trata a tu pregunta: el Jugador de la ruina en la probabilidad de una fórmula general por Tipo Katriel En este documento usted encontrará una fórmula de dar la exacta de la probabilidad de ruina para cualquier rentabilidad de distribución. Esta fórmula se expresa en términos de las soluciones en el complejo de la unidad de disco de la ecuación p(z)=1, donde p(z) es la generación de la función de la rentabilidad de la distribución. En el ejemplo que mencionas la función p(z) sería p(z)=0,6*z^41+0.4*z^(-43). La ecuación p(z)=1 se tiene 43 soluciones en el disco unidad del plano complejo (de 84 soluciones en todos, ya que es equivalente a una ecuación polinómica de grado 84), y la ruina de la probabilidad puede ser expresado en términos de estas soluciones mediante la fórmula dada en el papel. Encontrar estas raíces se requieren computación numérica usando un software matemático (por ejemplo wolfram alpha va a hacer).

Answer 2

Tal vez se puede resolver mediante un proceso de Markov con infinitamente muchos Estados

• estado 0 = arruinado
• estado 1 = \$0
• estado 2 = izquierda \$1.00
• estado 3 = izquierda \$2.00

La matriz de transición es algo así como

$$ \begin{bmatrix}1 & 0.4 & 0.4 & ... & 0 & ...\\ 0 & 0.4 & 0.4 & ... & 0 & ...\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\end{bmatrix}$$

El estado inicial es

$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\... \end{bmatrix}$

Ahora debe tratar de calcular

$$ \lim_{n \to \infty} \begin{bmatrix}1 & 0.4 & 0.4 & ... & 0 & ...\\ 0 & 0.4 & 0.4 & ... & 0 & ...\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\end{bmatrix}^n \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\... \end{bmatrix}$$

El primer elemento en el vector resultante de la columna es la solución. Pero requerirá un gran esfuerzo.