El nombre

Question

Sea A un conjunto (de los números reales); definir $\mathcal{C}^\omega (A)$ como el conjunto de todas las funciones real-valued definida, acotada y analítica a.

Mi pregunta es simplemente: ¿Cómo consiguió su nombre $\mathcal{C}^\omega (A)$? ¿Que nombre? ¿Qué significa en este contexto $\omega$? ¿Cómo llega la noción de $\mathcal{C}^n (A)$, donde $n \in \mathbb{N} \cup \{0, \infty \}$?

Por favor cite.

Answer 1

$\omega$ Aquí es que un símbolo de la lógica se corresponde con el número ordinal $\omega:=\cup_{n\to\infty} n$. $C^\omega$ es "más agradable" como $C^\infty$, que supongo que es lo que querían transmitir y utilizar otro símbolo para el infinito me pareció una buena manera.

Answer 2

Usted dos preguntas:

1. Históricamente, ¿cómo esta notación surgir?

2. Lógicamente, ¿cuál es el razonamiento detrás de esto?

Voy a responder a Q2 sólo.

El razonamiento es que estamos hechos para pensar de $\omega$ como ser un número mayor que $\infty$, como en:

$$0 \leq 1\leq 2\leq\cdots \infty\leq \omega$$

Lo bueno de esto es que para cualquier subconjunto $X$ de la línea real, la función de $$\mathop{\lambda}_{n \in \{0,1,\ldots,\infty,\omega\}} \mathcal{C}^n(X)$$ termina siendo "orden de marcha atrás." Como en:

$$\mathcal{C}^0(X) \supseteq \mathcal{C}^1(X) \supseteq \mathcal{C}^2(X)\cdots \mathcal{C}^\infty(X) \supseteq \mathcal{C}^\omega(X)$$

Por lo que vale la pena, me parece que esta notación a ser bastante mediocre. Sería mejor definir una nueva secuencia $\mathcal{A}$ como sigue: $\mathcal{A}^n(X)$ se compone de todas las funciones con valores de $f$ $X$ tal que para todos los $x \in X,$ existe una vecindad de a $x$ en el que la función de $f$ es igual a su propia $n$th-orden de polinomio de Taylor acerca de la $x$. Así que, básicamente, $\mathcal{A}^n(X)$ se compone de todas las funciones en $X$ que piecewise (en cada componente de $X$) se puede expresar como polinomios de grado $n$ o menos (incluyendo el $0$ polinomio). Entonces hace sentido escribir $\mathcal{A}^\infty(X)$ para las funciones analíticas en $X$. Tenemos:

$$\mathcal{C}^0(X) \supseteq \mathcal{C}^1(X) \supseteq \mathcal{C}^2(X)\cdots \mathcal{C}^\infty(X) \supseteq \mathcal{A}^\infty(X) \cdots \supseteq \mathcal{A}^2(X) \supseteq \mathcal{A}^1(X) \supseteq \mathcal{A}^0(X)$$

Por supuesto, todos los subíndices que realmente debe ser en la parte inferior, como en $\mathcal{C}_n$$\mathcal{A}_n$.