Extensiones del teorema de Pitágoras

Question

¿hay para un entero dado N soluciones a las ecuaciones

$$\sum_{n=1}^{N}x_{i} ^{2}=z^{2}$$

para enteros $x_i$ y $z$

una ecuación más fácil dada un número entero 'a' pueden haber soluciones a la ecuación

$$\sum_{n=1}^{N}x_{i} ^{2}=a^2$$

para N=2 este es el teorema de Pitágoras

Answer 1

Solo para evitar la inflación de notación, dejemos que $N=4$ y que la generalización implícita se encargue del resto de la pregunta. La pregunta se puede reformular como preguntar si existen puntos racionales en la $4$-esfera $\mathbb S_4:x_1^2 + x_2^2 +x_3^2+x_4^2=1$. Sabemos que $(1,0,0,0)$ es un punto racional (trivial) en $\mathbb S_4$. A partir de ese punto, elegimos una dirección racional, $(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4)$ donde $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ son números racionales, y vemos si la recta $(1,0,0,0)+t(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4)$ intersecta $\mathbb S_4$ en otro punto racional.

$$\begin{align}    (1+t\xi_1)^2 + t^2 \xi_2^2 + t^2 \xi_3^2 + t^2 \xi_4^1 &= 1 \\    2t\xi_1 + t^2(\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2) &= 0 \\    t &= -\dfrac{2\xi_1}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}  \end{align}$$

Así, para cualquier cuatro números racionales $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$

$$\left(    \dfrac{-\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}        {\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2},     -\dfrac{2\xi_1 \xi_2}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2},    -\dfrac{2\xi_1 \xi_3}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2},    -\dfrac{2\xi_1 \xi_4}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}, \right)$$

es un punto racional en $\mathbb S_4$