¿hay para un entero dado N soluciones a las ecuaciones
N∑n=1x2i=z2
para enteros xi y z
una ecuación más fácil dada un número entero 'a' pueden haber soluciones a la ecuación
N∑n=1x2i=a2
para N=2 este es el teorema de Pitágoras
¿hay para un entero dado N soluciones a las ecuaciones
N∑n=1x2i=z2
para enteros xi y z
una ecuación más fácil dada un número entero 'a' pueden haber soluciones a la ecuación
N∑n=1x2i=a2
para N=2 este es el teorema de Pitágoras
Solo para evitar la inflación de notación, dejemos que N=4 y que la generalización implícita se encargue del resto de la pregunta. La pregunta se puede reformular como preguntar si existen puntos racionales en la 4-esfera S4:x21+x22+x23+x24=1. Sabemos que (1,0,0,0) es un punto racional (trivial) en S4. A partir de ese punto, elegimos una dirección racional, (ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) donde ξ1,ξ2,ξ3,ξ4 son números racionales, y vemos si la recta (1,0,0,0)+t(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) intersecta S4 en otro punto racional.
(1+tξ1)2+t2ξ22+t2ξ23+t2ξ14=12tξ1+t2(ξ21+ξ22+ξ23+ξ24)=0t=−2ξ1ξ21+ξ22+ξ23+ξ24
Así, para cualquier cuatro números racionales ξ1,ξ2,ξ3,ξ4
(−ξ21+ξ22+ξ23+ξ24ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,−2ξ1ξ2ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,−2ξ1ξ3ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,−2ξ1ξ4ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,)
es un punto racional en S4
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Es posible que te interese el trabajo de Gauss sobre la suma de 4 cuadrados, cuando estaba aprendiendo sobre ello hace unos años, se sabía relativamente poco sobre la suma de 3 cuadrados (pero hay algunos resultados) y el caso de 2 ya está resuelto - ¿Creo que se llama el problema de Navidad? (Básicamente, si y solo si la parte libre de cuadrados de a no tiene factores primos de la forma 4k+3.)
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A menos que haya entendido completamente mal el problema... EDITAR: Sí entendí mal, estaba resolviendo ∑x2i=a. Pero seguramente siempre hay soluciones (¿es decir, (x1,…,xN)=(a,0,…,0)?)
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es.wikipedia.org/wiki/Cuarteto_pitagórico
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Puedes arrancar a2+b2=c2⟹a2a2+a2b2+b2c2=a2c2+b2c2=c2c2, por lo que habrá solución para todos los n por inducción. Estas no se sienten como soluciones "básicas" ya que se derivan de arranque en 2 dimensiones. Pero no sé cómo reformular la pregunta en términos más específicos para eliminar estos.
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Todos los n tendrán soluciones mediante el arranque. a2+b2=c2⟹(a2)2+(ab)2+(bc)2=(c2)4 parece trivial también tenemos 3,4,5 y 5,12,13 conducen a 32+42+123=132. Creo que la verdadera pregunta es cómo generalizamos las soluciones y si hay alguna solución para n que no están arrancadas para n más bajos. No sé cómo proceder pero sospecho firmemente que no. Podemos generalizar los arranques generalizando las soluciones de n=2 (que son [k(2m+1)]2+[k(2m2+2m)]2=[k(2m2+2m+1)]2)
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Oh.... obviamente ∑N2k=112=N2 no se genera a partir de ningún n<N2. Pero entre la generación de i)1+1+...+1=n^2, ii)∑x2=y2⟹∑(kx)2=(ky)2 iii) ∑x2=y2;∑z2=x2i⟹∑z2+∑x2¯i=y2 y iv) (2m+1)4+(2m2+2m)2=(2m2+2m+1)2, sospecho fuertemente que tenemos una base para todas las soluciones.