¿hay para un entero dado N soluciones a las ecuaciones
$$ \sum_{n=1}^{N}x_{i} ^{2}=z^{2} $$
para enteros $ x_i $ y $ z$
una ecuación más fácil dada un número entero 'a' pueden haber soluciones a la ecuación
$$ \sum_{n=1}^{N}x_{i} ^{2}=a^2 $$
para N=2 este es el teorema de Pitágoras
Solo para evitar la inflación de notación, dejemos que $N=4$ y que la generalización implícita se encargue del resto de la pregunta. La pregunta se puede reformular como preguntar si existen puntos racionales en la $4$-esfera $\mathbb S_4:x_1^2 + x_2^2 +x_3^2+x_4^2=1$. Sabemos que $(1,0,0,0)$ es un punto racional (trivial) en $\mathbb S_4$. A partir de ese punto, elegimos una dirección racional, $(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4)$ donde $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ son números racionales, y vemos si la recta $(1,0,0,0)+t(\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4)$ intersecta $\mathbb S_4$ en otro punto racional.
\begin{align} (1+t\xi_1)^2 + t^2 \xi_2^2 + t^2 \xi_3^2 + t^2 \xi_4^1 &= 1 \\ 2t\xi_1 + t^2(\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2) &= 0 \\ t &= -\dfrac{2\xi_1}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2} \end{align}
Así, para cualquier cuatro números racionales $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$
$$\left( \dfrac{-\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2} {\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}, -\dfrac{2\xi_1 \xi_2}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}, -\dfrac{2\xi_1 \xi_3}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}, -\dfrac{2\xi_1 \xi_4}{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2}, \right)$$
es un punto racional en $\mathbb S_4$
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Es posible que te interese el trabajo de Gauss sobre la suma de 4 cuadrados, cuando estaba aprendiendo sobre ello hace unos años, se sabía relativamente poco sobre la suma de 3 cuadrados (pero hay algunos resultados) y el caso de 2 ya está resuelto - ¿Creo que se llama el problema de Navidad? (Básicamente, si y solo si la parte libre de cuadrados de $a$ no tiene factores primos de la forma $4k + 3$.)
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A menos que haya entendido completamente mal el problema... EDITAR: Sí entendí mal, estaba resolviendo $\sum x_i^2 = a$. Pero seguramente siempre hay soluciones (¿es decir, $(x_1,\dots,x_N) = (a, 0, \dots, 0)$?)
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es.wikipedia.org/wiki/Cuarteto_pitagórico
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Puedes arrancar $a^2 + b^2 = c^2 \implies a^2a^2 + a^2b^2 + b^2c^2 = a^2c^2 + b^2c^2 = c^2c^2$, por lo que habrá solución para todos los n por inducción. Estas no se sienten como soluciones "básicas" ya que se derivan de arranque en 2 dimensiones. Pero no sé cómo reformular la pregunta en términos más específicos para eliminar estos.
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Todos los n tendrán soluciones mediante el arranque. $a^2 + b^2 = c^2\implies (a^2)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 = (c^2)^4$ parece trivial también tenemos $3,4,5$ y $5,12,13$ conducen a $3^2 + 4^2 + 12^3=13^2$. Creo que la verdadera pregunta es cómo generalizamos las soluciones y si hay alguna solución para n que no están arrancadas para n más bajos. No sé cómo proceder pero sospecho firmemente que no. Podemos generalizar los arranques generalizando las soluciones de n=2 (que son $[k(2m+1)]^2 + [k(2m^2 + 2m)]^2 = [k(2m^2+2m+1)]^2)$
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Oh.... obviamente $\sum_{k=1}^{N^2} 1^2 = N^2$ no se genera a partir de ningún $n < N^2$. Pero entre la generación de i)1+1+...+1=n^2, ii)$\sum x^2 = y^2\implies \sum (kx)^2 = (ky)^2$ iii) $\sum x^2 = y^2;\sum z^2 =x_i^2\implies \sum z^2 + \sum x_{\overline i}^2 = y^2$ y iv) $(2m+1)^4 + (2m^2 + 2m)^2 = (2m^2 + 2m + 1)^2$, sospecho fuertemente que tenemos una base para todas las soluciones.