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Extensiones del teorema de Pitágoras

¿hay para un entero dado N soluciones a las ecuaciones

Nn=1x2i=z2

para enteros xi y z

una ecuación más fácil dada un número entero 'a' pueden haber soluciones a la ecuación

Nn=1x2i=a2

para N=2 este es el teorema de Pitágoras

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Es posible que te interese el trabajo de Gauss sobre la suma de 4 cuadrados, cuando estaba aprendiendo sobre ello hace unos años, se sabía relativamente poco sobre la suma de 3 cuadrados (pero hay algunos resultados) y el caso de 2 ya está resuelto - ¿Creo que se llama el problema de Navidad? (Básicamente, si y solo si la parte libre de cuadrados de a no tiene factores primos de la forma 4k+3.)

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A menos que haya entendido completamente mal el problema... EDITAR: Sí entendí mal, estaba resolviendo x2i=a. Pero seguramente siempre hay soluciones (¿es decir, (x1,,xN)=(a,0,,0)?)

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tugberk Puntos 221

Solo para evitar la inflación de notación, dejemos que N=4 y que la generalización implícita se encargue del resto de la pregunta. La pregunta se puede reformular como preguntar si existen puntos racionales en la 4-esfera S4:x21+x22+x23+x24=1. Sabemos que (1,0,0,0) es un punto racional (trivial) en S4. A partir de ese punto, elegimos una dirección racional, (ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) donde ξ1,ξ2,ξ3,ξ4 son números racionales, y vemos si la recta (1,0,0,0)+t(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) intersecta S4 en otro punto racional.

(1+tξ1)2+t2ξ22+t2ξ23+t2ξ14=12tξ1+t2(ξ21+ξ22+ξ23+ξ24)=0t=2ξ1ξ21+ξ22+ξ23+ξ24

Así, para cualquier cuatro números racionales ξ1,ξ2,ξ3,ξ4

(ξ21+ξ22+ξ23+ξ24ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,2ξ1ξ2ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,2ξ1ξ3ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,2ξ1ξ4ξ21+ξ22+ξ23+ξ24,)

es un punto racional en S4

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