Ejemplos de secuencias "autorreferenciales"

Question

Hace poco encontré el llamado Van Eck la secuencia, en la que $a(n)$ es la respuesta a la pregunta "a excepción de $a_{n-1}$ sí, cómo lo hizo la última vez que vea $a_{n-1}$?" ($a_n=0$ si $ a_{n-1}$ nunca apareció antes):

$$0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 6, 0, 5, 0, 2, 6, 5, 4, 0, 5, 3, 0, 3, 2, 9, 0, 4, 9, 3, 6, 14, 0, 6, 3, 5,\dots$$

Estoy intrigado por la idea de que la secuencia es creado por considerar una característica de la secuencia de sí mismo - es auto-referencial de una manera divertida, casi circular definido. Estoy teniendo un duro momento de la fijación abajo esta característica, precisamente, así que me perdone la vaguedad de la pregunta:

¿Cuáles son algunos ejemplos de los otros "autorreferencial" secuencias?

Yo intenté crear algo de mí, pero que resultó muy interesante. Por ejemplo, "$a_n$ es el número de sub-secuencias en $(a)_1^{n-1}$ que $a_{n-1}$ " es $1,1,2,2,3,4,5,6,\dots$

Casero secuencias también son muy bienvenidos!

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Edit: acabo de encontrar la mirada-y-a decir de la secuencia, que también es bastante claro:

$$1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221,\dots,$$ que se construye por enumerar el número de ciertos números en una fila, se encuentra en la entrada anterior, es decir, la segunda entrada es "una $1 =11$", la tercera es "dos $1$s $=21$", etc.

Answer 1

$$1, 2,2, 1,1, 2,1, 2,2,1, 2,2,1,1,2, 1,1,2,2,1,2,1, 2,1,2,2,1,1,2,1,1,2, 1,1,2,1,1,2,2,1,2\dots$$ El Kolakoski secuencia (OEIS secuencia A000002) es la infinita secuencia $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots$ de los unos y los doses que consta de un bloque de $a_1$ queridos seguido por un bloque de $a_2$ dos en dos, a continuación,$a_3$, $a_4$ dos en dos, $a_5$, y así sucesivamente. Es una conjetura no demostrada que la secuencia que contiene la misma proporción de unos y de dos en dos, es decir, que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots a_n}n=1.5$$ Otra conjetura no demostrada es que el finito subpalabras de la Kolakoski secuencia puede ser caracterizado como el llamado $C^\infty$-palabras; ver
William D. Weakley, En el número de $C^\infty$-palabras de cada longitud, Revista de Teoría Combinatoria de la Serie a, 51 (1989), 55-62
y
Yun Bao Huang y William D. Weakley, Una nota sobre la complejidad de $C^\infty$-palabras, la Ciencia computacional Teórica 411 (2010), 3731-3735.

Answer 2

Secuencias de Hofstadter incluyen "Fibonacci-como" ejemplos como $$ g (n) = n - G(G(n-1)) \, $$ donde se encuentra el término necesario para calcular el valor actual por contar de nuevo un número de pasos iguales al valor anterior.

Answer 3

Aquí es una secuencia de hechos en casa. No encuentro en OEIS. Comienzan con $x_1=2$, dicen. A continuación, defina $$x_{n+1} = |\{i \in \{1,\dots,n-1\} \;:\; x_i=x_n\}|$$ i.e. the number of times you see $ x_n$ in $\{x_1,\dots,x_{n-1}\}$. Por ejemplo, Obtén: $$2,0,0,1,0,2,1,1,2,2,3,0,3,1,…$ $

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A partir de $x_1=1$, $$1,0,0,1,1,2,0,2,1,3,0,3,1,4,0,4,1,…,n,0,n,1,…$ $ y $x_1=2$, $$2,0,0,1,0,2,1,1,2,2,3,0,3,1,3,2,\; 4,0,4,1,4,2,\; 5,0,5,1,5,2,\;…,\; n,0,n,1,n,2, \; n+1,0,n+1,1,n+1,2, \;…$ $

A partir de un $x_1 ≥ 1$ produce una secuencia con el patrón $n,0,n,1,n,2,…,n,x_1$.