¿En un anillo implica la $aba=0$ $ab=0$ o $ba=0$?

Question

En un anillo, $a\neq0$ y $b\neq0$. $aba=0$.

Prueba $ab=0$ o $ba=0$.

Se trata de una pregunta en mi tarea de álgebra abstracta, a primera vista parece bastante fácil, pero he pasado horas pensando en posibles soluciones... todavía no tengo de encontrar una salida. ¿Me podría dar algún consejo? Gracias ~ ~

Answer 1

Sugerencia $\ $ $\rm\:b=1\:$ $\rm\: a^2 = 0\:\Rightarrow\: a= 0,\:$ que es no verdadero en cada anillo, por ejemplo, $\rm\ a = n\:$ $\rm\: \Bbb Z/n^2.$

Esta es esencialmente la única obstrucción, es decir, la proposición es verdadera si el anillo es reducido, es decir, si el anillo no tiene un valor distinto de cero nilpotent elementos, es decir, $\rm\: x^n = 0\:\Rightarrow\: x = 0.\:$

Teorema $\ $ Los siguientes son equivalentes en cualquier anillo.

$\rm(1)\quad xyx = 0\ \Rightarrow\ xy=0\ \ or\ \ yx=0$

$\rm(2)\quad x^2 = 0\ \Rightarrow\ x=0$

$\rm(3)\quad x^n = 0\ \Rightarrow\ x=0$

Prueba De $\ \ \ \ (1\Rightarrow 2)\ \ \ $ Puesto $\rm\:y = 1.\:$
$(2\Rightarrow 3)\ \ \, $ Al menos $\rm\:n\:$ tal que $\rm\:x^n = 0\:$ $\rm\:n = 1\:$ desde cualquier mayor valor puede ser reducido, a saber.

$$\begin{eqnarray}\rm x^{2k} = 0\ &\Rightarrow&\rm\ (x^k)^2\! &=& 0\ &\Rightarrow&\rm\ x^k &=& 0\\ \rm x^{2k+1}\!=0\ &\Rightarrow&\rm\ (x^{k+1})^2\! &=& 0\ &\Rightarrow&\rm\ x^{k+1} &=& 0\end{eqnarray}$$

$\rm(3\Rightarrow 1)\ \ \ $ Si $\rm\:xyx = 0\:$ $\rm\: (xy)^2 = (xyx)y = 0,\:$ por lo tanto $\rm\: xy = 0\:$$(3)$.

Comentario $\ $ La ausencia de nilpotent elementos facilita la simple teoría de la estructura, por ejemplo, de Weierstrass (1884) y Dedekind (1885) demostraron que cada finito dimensionales conmutativa anillo de extensión de $\mathbb R$ sin nilpotents es isomorfo como un anillo a una suma directa de copias de $\rm\:\mathbb R\:$ $\rm\:\mathbb C\:.\:$Wedderburn y Artin demostrado una generalización que cada finito-dimensional álgebra asociativa sin nilpotent elementos sobre un campo $\rm\:F\:$ es finita suma directa de los campos.

La estructura de la teoría de los resultados de simplificar la clasificación de tales anillos cuando se presentan en la naturaleza. Por ejemplo, he aplicado un caso especial de estos resultados aquí para demostrar que un anillo finito es un campo si sus unidades $\cup\ \{0\}$ comprenden un campo de característica $\ne 2\:.\:$, Por otro ejemplo, una lesión medular.matemáticas lector una vez que propone una extensión de los números reales con varias "señales". Este resulta ser un caso muy simple de los resultados anteriores. Ver mi respuesta en ¿hay una tercera dimensión de los números? para mucho más debate, incluyendo referencias.

Answer 2

Esto es falso. Considere el anillo $\mathbb{Z}_{12}$. Que $a =2, b=3$. $aba =2\cdot 3 \cdot 2 =0$, Sin embargo $2 \cdot 3 = 6 \neq 0$ y $3 \cdot 2 = 6 \neq 0$.