¿Podría alguien explicarme por qué $n$ y $n+1$ no comparten factores primos. He encontrado algunas pruebas formales en Internet, pero desgraciadamente no las he entendido bien.
Acepto que es el caso eg: $24 = 2\cdot2\cdot2\cdot3$
$25 = 5\cdot5$
$26 = 2\cdot13$
$27 = 3\cdot3\cdot3$
Encontré esta pregunta en un libro de texto escolar y pedía explicar por qué, así que supuse que debía haber una explicación fácil (en lugar de una demostración formal).
Gracias, cualquier ayuda será muy apreciada.
Considerando sólo los números enteros positivos, ¿cuál crees que es el primo más pequeño? Si respondes $1$ tenemos un problema. Pero si responde $2$ Entonces podremos avanzar.
Supongamos que $n$ es divisible por $2$ . ¿Cuáles son los dos números más próximos a $n$ que también son divisibles por $2$ ? Obviamente $n - 2$ y $n + 2$ . Claramente $n - 2 < n - 1 < n < n + 1 < n + 2$ .
Supongamos ahora que $n$ también es divisible por algún primo impar positivo $p$ . ¿Cuáles son los dos números más próximos a $n$ que también son divisibles por $p$ ? Así es, $n - p$ y $n + p$ . Desde $p > 2$ ahora podemos decir $$n - p < n - 2 < n - 1 < n < n + 1 < n + 2 < n + p.$$
Si $p|n$ y $p|n+1$ entonces $\frac np$ y $\frac {n+1}p = \frac np + \frac 1p$ son ambos números enteros. Así que $\frac 1p$ es un número entero. Así que $p = 1$ . Así que sólo $1$ divide ambos $n$ y $n+1$ .
....o.... si $n = k*p$ y $n+1 = j*p$ entonces $1 = (n+1)-n = j*p-k*p = (j-k)*p$ . Así que $\frac 1p = j-k$ es un número entero. Eso sólo es posible si $p = 1$ .
Puede ser útil señalar que la multiplicación se distribuye sobre la suma; es decir, para tres valores cualesquiera $m, k, p$ ,
$$ p(k+m) = pk+pm $$
Supongamos que tienes dos números $n$ y $n+1$ que tenían un factor común $p$ de modo que
$$ n = pk $$
$$ n+1 = pk' $$
donde podemos asignar $k' = k+m$ Eso es, $k' = k$ ajustado por algún valor $m$ . Ahora bien, ¿qué podría $m$ ¿ser? Observamos que la propiedad distributiva nos dice que $p(k+m) = pk+pm$ . Si restamos
$$ n = pk $$
de
$$ n+1 = p(k+m) = pk+pm $$
obtenemos
$$ 1 = pm $$
Pero $1$ factores sólo en sí mismo, por lo que tanto $p$ y $m$ debe entonces ser igual a $1$ . Desde $1$ no es primo, encontramos que $n$ y $n+1$ no pueden tener ningún factor primo en común.
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Si $d$ divide ambos $a$ y $b$ también divide $a-b$ . Si $a=n+1$ y $b=n$ tienen un factor común, debe ser un divisor de $1$ .
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Por contradicción tienes la prueba usando el Teorema fundamental de la aritmética y la división , que es la respuesta de los usuarios anteriores (con dos casos: $n=1$ o $n>1$ ). También puede pensar en Erathosthenes tamiz , y pensar que se trata de la secuencia $(kp)_{k\geq 1}$ de múltiplos de un primo (fijo) (por casos, siendo $n>1$ si $n=kp$ con $k=1$ o $n=kp$ con $k>1$ ), entonces se puede deducir fácilmente otra prueba. Me gusta mucho el Función gamma (véase el Motivación ), la función sucesora, la función suma de divisores... es un rompecabezas. Buena suerte.