Ayúdame a resolver $\int \ln(2x+1)dx$

Question

Estoy tratando de resolver esta integral indefinida: $$\int \ln(2x+1)dx$$

Intenté la integración por partes, dejando

$u=\ln(2x+1) \qquad dv=dx \qquad du= \frac 2 {2x+1}dx \qquad v=x$

Introduciendo esto en la fórmula estándar, obtuve

$$\int \ln(2x+1)dx \quad = \quad x\ln(2x+1)- \int \frac {2x} {2x+1} dx$$

Ahora el problema con el que me encontré: No tengo ni idea de cómo resolver $\int \frac {2x} {2x+1} dx$ . Intenté usar la integración por partes en esto, pero produjo otra integral que no tenía idea de cómo resolver (era $\int \frac {2x^2} {2x+1} dx$ por si tiene curiosidad).

¿Puede alguien ayudarme? (Las dos únicas técnicas de integración que conozco por ahora son la sustitución y la integración por partes)

Answer 1

Una pista. Sólo escribe $$ \frac {2x} {2x+1}=\frac {2x+1-1} {2x+1}=1-\frac {1} {2x+1} $$ e integrar cada término.

Answer 2

puede integrar $$\int \frac{2x}{2x+1} \, dx = \int \left(1 - \frac1{2x+1}\right) \, dx = x - \frac 12 \ln|2x+1| + C$$

p.d. creo que hubiera sido más fácil si hubieras hecho la sustitución $u = 2x+1$ este truco funciona en las integrales que implican la composición con $ax + b.$ algunos ejemplos $\int \dfrac{1}{(ax+b)^2} \, dx, \int \sin (ax + b) \, dx, \int \ln (ax + b)\, dx, etc.$