Ayuda para el operador de divergencia

Question

Soy un novato y puede ser esta pregunta es un poco simple, pero que me perdonen si es muy simple.

1. ¿Alguien me dice que algunos de referencia para el estudio sobre la invertibility de Divergencia operador $\operatorname{div}\colon C^1(\omega)\to G$ donde $G$ es un espacio de verdadera función con valores y $\omega$ es un subconjunto de a $\Bbb R^2$. Aquí asumo una de Dirichlet tipo de condición en el límite de $\omega$ es especificado y todos los límites y de dominio han agradable suavidad.
2. En el contexto anterior alguien puede darme alguna referencia sobre el espacio Nulo de la estructura de la divergencia operador operativo en mapas diferenciables definidas en $\Bbb R^2$ ?

Ariwn

Answer 1

Un campo del vector de divergencia-libre corresponde a un flujo incompresible. El espacio nulo es infinito-dimensional. Por ejemplo, para obtener un campo del vector de divergencia-libre compatible en un bola de $\{|x| \le r\}$, usted puede tomar algo como esto: %#% $ de #% donde $$V(x) = (f(|x|) x_2, -f(|x|) x_1, 0, \ldots, 0)$ es una función lisa apoyada en $f$.

Answer 2

Como Robert señaló, este problema está relacionado con el problema de Stokes, un caso límite de la incompresible ecuación de Navier-Stokes.

Para la dimensión Arbitraria como se preguntó por primera vez, podría referirse a este documento, en $\mathbb{R}^3$, la existencia de un vector potencial de resolver la divergencia de la ecuación se puede encontrar aquí.

Para $\mathbb{R}^2$, estoy buscando en el libro de Girault y Raviart ahora, los resultados completos de la función de los espacios relacionados con la divergencia del operador se puede encontrar en la página 22, y son como una aplicación de De Rham del trabajo en cohomology. $\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ La idea básica es que cualquier liso campos vectoriales $\v{v}$$\mathbb{R}^2$, existe una descomposición $$ \v{v} = \mathbf{grad} \phi + \mathbf{curl} \psi $$ si el límite del dominio de interés, tiene cierta suavidad(digamos de Lipschitz). Dicen que si tu problema es encontrar $\v{v}$ tal que $$ \left\{ \begin{aligned} \mathrm{div} \v{v} &= f \text{ in } \Omega \\ \v{v} &= \v{g} \text{ on } \partial\Omega \end{aligned} \right. $$ Conectar la descomposición permitiría establecer una Neumann problema de la ecuación de Laplace para $\phi$, y cualquier $\psi \in H^1$ que tiene un cero de la condición de límite podría satisfacer $\mathbf{curl} \psi \cdot \v{n} = 0$ sobre el límite.