¿Todas las extensiones de campos finitos son cíclicos?

Question

Mi libro dice todas las extensiones de campos finitos son cíclicas, pero no pude encontrar una prueba (quizás no busqué lo suficiente). Si es sencillo, puede usted decirme ¿por qué es cierto? Gracias :)

Answer 1

No estoy seguro de que la ciclicidad de la unidad de grupo de un campo finito se utiliza aquí. (No es que tenga ningún problema con él: véase, por ejemplo, la Sección 2 de estas notas para una prueba.)

Deje $K/\mathbb{F}_q$ ser un campo de extensión de grado $n$, lo $\# K = q^n$. Deje $\sigma: K \rightarrow K$$x \mapsto x^q$. Recordar:

(Lagrange Poco Teorema): Vamos a $G$ ser un número finito de abelian grupo de orden $n$ y $g \in G$. A continuación, el orden de $g$ divide $n$.

El punto es que LLT es un caso especial de Lagrange del Teorema que puede ser demostrado por el mismo argumento que prueba de Fermat Poco Teorema, es decir, el caso especial en que $G = \mathbb{F}_p^{\times}$. Así que uno no debe hablar de cosets y tal...

Deje $x \in \mathbb{F}_q$. Yo reclamo que $x^q = x$. Esto es claro si $x = 0$, y de lo contrario se aplican LLT a $x \in \mathbb{F}_q^{\times}$ conseguir $x^{q-1} = 1$, lo que implica $x^q = x$.

Por lo tanto, $\sigma$ es un automorphism de $K/\mathbb{F}_q$. Como por su fin, supongo $\sigma^i$ es igual a la identidad: que es, para todos $x \in K$, $x^{q^i} = x$. Tenemos $P_i(t) = t^{q^i} - t \in K[t]$ es un polinomio de grado $q^i$ sobre el campo de $K$, de modo que por la Raíz Teorema de Factor (consecuencia del algoritmo de la división para polinomios), $P_i(t)$ tiene más de $q^i$ raíces. De ello se deduce que el orden de $\sigma$ es igual a $n = \log_q(\# K)$. Así, el grupo cíclico generado por $\sigma$ es un grado $n$ subgrupo de $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{F}_q)$. Pero por la base de la teoría de Galois, para una extensión de $K/F$ grado $n$,$\# \operatorname{Aut}(K/F) \leq n$, con la celebración de igualdad si y sólo si $K/F$ es de Galois. Por lo tanto, $K/\mathbb{F}_q$ es un cíclico de Galois de la extensión.

Si nos gusta, podemos establecer que hay una única extensión cíclica de grado $n$ cualquier $n \in \mathbb{Z}^+$: podemos tomar la división de campo de la $t^{q^n} - t$, y la división de campos existen y son únicos (no único) isomorfismo sobre el campo de tierra.

A mí me parece que no he utilizado la ciclicidad de $\mathbb{F}_q^{\times}$ en cualquier parte...

Answer 2

Cualquier finito extensión de un campo finito $\mathbb{F}_q$ es cíclico. Para dicha extensión de $K$ en primer lugar recordar que el Frobenius mapa de $x \mapsto x^q$ $\mathbb{F}_q$- lineal endomorfismo. Si $x^q = y^q$$(x - y)^q = 0$, por lo tanto $x = y$, por lo que el Frobenius mapa es inyectiva. Ya que es un inyectiva lineal mapa a partir de un número finito-dimensional espacio vectorial a sí mismo, es surjective, por lo que es un automorphism. Su campo fijo es el subcampo de las raíces de $x^q - x$, que son precisamente los elementos de la base de campo de $\mathbb{F}_q$. De ello se desprende que $K$ es de Galois con grupo de Galois el grupo cíclico generado por $x \mapsto x^q$.

(Supongo que cuando digo $\mathbb{F}_q$ estoy siendo ligeramente circular. Interpretar la anterior prueba de la siguiente manera: ninguna extensión finita de $\mathbb{F}_p$ es cíclica, y de hecho la anterior prueba demuestra que todos son de la forma $\mathbb{F}_{p^n}$ usando el hecho de que cualquier finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclico, por lo finito de los campos de $\mathbb{F}_q$ realmente tienen Frobenius mapas como acabo de afirmaban que hacer, y, a continuación, aplicar la prueba de nuevo a $\mathbb{F}_q$.)

Answer 3

A continuación es una completa, no circular simple prueba de que el resultado mencionado por Qiaochu que evita la invocación de la alta potencia de la estructura teorema para finitos abelian grupos.

Teorema $\ $ Un subgrupo finito $\rm\:G\:$ del grupo multiplicativo de un campo es cíclico.

Prueba de $\ $ La proposición por debajo de los rendimientos, con $\rm\,m = maxord(G) = expt(G),\,$ que $\rm\, x^m = 1\,$ $\rm\:\#G\:$ raíces. Dado un polinomio $\rm\:f\:$ sobre un campo satisface $\rm\:\#roots\ f \le deg\ f\:$ podemos deducir que los $\rm\: \#G \le m.\:$ Pero maxorder $\rm\:m \le \#G\:$ desde $\rm\:g^{\#G} = 1\:$ todos los $\rm\:g \in G\:$ (Lagrange). $\:$ $\rm\:m = \#G = maxord(G),\:$ Por lo tanto $\rm\:G\:$ tiene un elemento de orden $\rm\#G,\:$ por lo tanto $\rm\:G\:$ es cíclico.

$\begin{eqnarray}\rm{\bf Proposition}\quad maxord(G) \!&=&\rm expt(G)\ \text{ for a finite abelian group}\ G,\ i.e.\\ \\ \rm max\ \{ ord(g) : \: g \in G\} \!&=&\rm min\ \{ n>0 : \: g^n = 1\ \ \forall\ g \in G\}\end{eqnarray}$

Prueba de $\ $ Por el lema de abajo, $\rm\: S\, =\, \{ ord(g) : \:g \in G \}$ es un finito conjunto de los naturales cerrado bajo$\rm\ lcm$.

Por lo tanto todos los $\rm\ s \in S\:$ es un divisor de la max elt $\rm\: m\ $ [más $\rm\: lcm(s,m) > m\,$],$\ $ por lo $\rm\ m = expt(G)$.

Lema $\ $ finita grupo abelian $\rm\:G\:$ tiene una lcm-cerrado orden establecido, es decir, con $\rm\: o(X) = $ orden de $\rm\: X$

$$\rm X,Y \in G\ \Rightarrow\ \exists\ Z \in G:\ o(Z) = lcm(o(X),o(Y))$$

Prueba de $\ \ $ Por inducción en $\rm\: o(X)\, o(Y).\ $ Si $\:1\:$ entonces trivialmente $\rm\:Z = 1$. $\ $ De lo contrario,

escribir $\rm\ o(X) =\: AP,\: \ o(Y) = BP',\ \ P'|\,P = p^m > 1,\ $ primer $\rm\: p\:$ coprime a $\rm\: A,B.$

A continuación, $\rm\: o(X^P) = A,\ o(Y^{P'}) = B.\ $ Por inducción hay un $\rm\: Z\:$ $\rm \: o(Z) = lcm(A,B)$

por lo $\rm\ o(X^A\: Z)\: =\: P\ lcm(A,B)\: =\: lcm(AP,BP')\: =\: lcm(o(X),o(Y)).$