Nonabelian UNITAL álgebra de banach donde el único cerrado ideales son $\{0\}$ y $A$

Question

Este es un problema en el ejercicio de uno de Murphy del libro

Encontrar un ejemplo de un nonabelian unital álgebra de Banach $A$, donde el solo cierra los ideales son a$\{0\}$$A$.

Pero hace un álgebra de existir?

Mi argumento es el siguiente:

Deje $a$ ser cualquier elemento distinto de cero en $A$ si $a$ a no es invertible, entonces a $a$ está contenido en un ideal maximal, que está cerrado. Sin embargo, no hay tal ideal por lo tanto cada elemento distinto de cero debe ser invertible. A continuación, Gelfand-Mazur dice $A$ es el de los números complejos y por lo tanto debe ser abelian.

¿Cuál es el problema con mi argumento?

Gracias!

Answer 1

El problema es que no invertible, no implica que estén contenidas en un máximo de dos caras ideal si $A$ es no conmutativa. Por ejemplo, hay un montón de elementos de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ que no invertible, pero a partir de este álgebra es simple (que por cierto implica que es ya una respuesta a su pregunta al $n \ge 2$) distinto de cero elementos de generar la unidad de dos caras ideal.

Lo cierto es que no se deja-invertible, es equivalente a estar contenidas en un máximo izquierda ideal y no se haga invertible, es equivalente a estar contenidas en un máximo ideal de derecho.