Cómo reducir una forma cuártica a una forma cuadrática con raíces iguales

Question

Dado un polinomio en $n$ variables de la forma

$$P(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left(\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j+\sum_{i}b_{i}x_i+c\right)^2$$

¿hay alguna manera de encontrar un polinomio también en $n$ variables de grado 2 como máximo

$$Q(y_1,y_2,\dots,y_n)=\sum_{i,j}d_{ij}y_iy_j+\sum_{i}e_{i}y_i+f$$

con las mismas raíces y que es positivo para todos los valores del dominio? Puedes suponer que todas las variables sólo toman los valores $0$ o $1$ y todos los coeficientes son reales.

Si no es posible encontrar un polinomio en $m$ variables con $m>n$

$$R(y_1,y_2,\dots,y_m)=\sum_{i,j}g_{ij}y_iy_j+\sum_{i}h_{i}y_i+k$$

tal que si $(z_1,z_2,\dots,z_n)$ es una raíz de $P$ entonces $R(z_1,z_2,\dots,z_n,z_{n+1},\dots,z_m)=0$ para algún valor de $z_{n+1},\dots,z_m$ y R es positivo en el dominio?

Motivación: Tengo un montón de ecuaciones que van a alimentar a un ordenador cuántico, pero éste sólo puede manejar interacciones de 2 qubits, por lo que necesito reducir las expresiones a polinomios de grado no superior a 2. Por el momento simplemente uso Mathematica para encontrar una instancia de un polinomio que satisfaga las restricciones anteriores, pero falla cuando $n$ es grande. ¿Existe un procedimiento general para encontrar $R$ ? ¿En qué condiciones $Q$ ¿dejar de existir?

Answer 1

La respuesta a la primera parte es NO :

• Un ejemplo de $P$ es $(\sum_i^Nx_iy_i)^2$ que tiene $2^N$ raíces. Pero $Q$ tiene ${2N \choose 2}$ + $2N$ + 1 grados de libertad ( $d_{ij}, e_i, f$ ). En $N\ge7$ el primero es mayor que el segundo, por lo que no hay suficientes grados de libertad para satisfacer la $2^N$ limitaciones.

La respuesta a la segunda parte es SÍ :

• En binario, existen funciones cuadráticas positivas que tienen las mismas raíces que la función cúbica: $(AB - C)^2$ . Un ejemplo es [1]: $AB - 2AC - 2BC + 3C$ .

• Así, para cada término con $a_{ij}\ne0$ introduzca una nueva variable $C$ tal que $P=(x_ix_j - C)^2$ . Esto será cuadrático en $x_i,x_j,$ y $C$ .

• Repite hasta que todos los términos sean cuadráticos.

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  [1] Se trata de la Ec. 43 de Schaller & Schutzhold: http://arxiv.org/pdf/0708.1882v2.pdf con $C=-S$ después de expandir, y recordando que las variables binarias son idempotentes.

Answer 2

Esto no es posible...
deje $u$ sea un parámetro tal que $(x_1(u),x_2(u),\dots,x_n(u))$ que describe una línea en $\mathbb{R}^n$
entonces $P(x_1(u),x_2(u),\dots,x_n(u))= a_0u^2+a_1u+a_2$ es una parábola. Dado que $P$ tiene más de una raíz podemos elegir una línea con dos raíces $X_0,X_1$ en él. En este caso las parábolas tienen dos raíces $u_0,u_1$ .

Supongamos que tenemos otra función cuadrática $R$ de una dimensión superior, y $X_0,X_1$ son también sus raíces. por lo que hay una línea $(x_1(v),x_2(v),\dots,x_m(v))$ sobre la bruja $R(x_1(v),x_2(v),\dots,x_n(v))= b_0v^2+b_1v+b_2$ tenemos una parábola con dos raíces. pero parábola con dos raíces diferentes tiene valores negativos, Por lo tanto R debe tener valores negativos...