¿se pueden expresar todos los números triangulares que son cuadrados como suma de cuadrados

Question

No estoy seguro de si esto es sólo un subconjunto de ¿Qué números enteros pueden expresarse como suma de cuadrados de dos números enteros coprimos? que a su vez señala http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci_identity pero si es así, no lo veo.

Básicamente: mirando a los números entre 0 y 1000, si (pero no si) n es un cuadrado, entonces el enésimo número triangular (es decir $$\frac{n(n+1)}{2}$$ ) puede expresarse como la suma de dos cuadrados perfectos . ¿Se cumple esto para todos los cuadrados, y puede alguien indicarme por qué es así? (Por si sirve de algo, soy ingeniero pero no he tocado temas de teoría de números desde la universidad).

(También vio Demuestra que hay infinitos números naturales $n$ , de tal manera que $n(n+1)$ puede expresarse como suma de dos cuadrados positivos de dos maneras distintas. lo que demuestra que hay infinitos para los similares $n(n+1)$ caso pero no que todas las plazas funcionen a no ser que se me haya escapado algún aspecto)

(Enfoque de fuerza bruta para comprobar los números, porque la fuerza bruta siempre funciona)

import math
maxsquare = 1001
squares = [i*i for i in xrange(maxsquare)]
for j in xrange(int(math.sqrt(maxsquare))):
    i = j * j 
    n = i * (i+1) / 2
    for s in squares:
        f = n - s
        if f in squares:
            print "%d^2 + %d^2 = %d * %d+1 / 2" % (int(math.sqrt(f)),int(math.sqrt(s)),i,i)
            break
    else:
        print "Could not find anything for i = %d" % i

Answer 1

La respuesta es sí, es cierto para todos $n$ .

Permítame reformular su pregunta. Usted quiere saber si, cuando $n$ es un cuadrado perfecto, se da el caso de que $\frac12 n(n+1)$ es una suma de dos cuadrados. Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces tiene una raíz cuadrada entera, que podemos llamar $m$ y escribir $n = m^2$ . Entonces su pregunta es si $\frac12 m^2(m^2+1)$ es una suma de dos cuadrados para todos los enteros $m$ .

Hay un teorema muy útil sobre las sumas de dos cuadrados que dice que un número $N$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si todo primo de la forma $4k+3$ (como $3, 7, 11, 19,$ etc.) aparece en la factorización primaria de $N$ un incluso número de veces.

Ahora $m^2(m^2 + 1) = {\left(m^2\right)}^2 + m^2$ es obviamente una suma de dos cuadrados. Y dividiendo $m^2(m^2+1)$ por 2 no puede afectar al número de veces que cualquier primo de la forma $4k+3$ aparece en su factorización, por lo que $\frac12 m^2(m^2+1)$ también es una suma de dos cuadrados.

( Apéndice : Erick Wong señala a continuación que ni siquiera es necesario invocar el Fermat $4k+3$ teorema).

Answer 2

Si ejecuta su programa debería encontrar $$ 0^2+1^2 = \frac{1\times 2}{2}\\ 1^2+3^2 = \frac{4\times 5}{2}\\ 3^2+6^2 = \frac{9\times 10}{2} \\ 6^2+10^2 = \frac{16\times 17}{2} \\ 10^2+15^2 = \frac{25\times 26}{2} $$ a partir de la cual podrías reconocer los números de las sumas como los números triangulares de nuevo, en cuyo caso puedes adivinar que $$ \frac{j^2(j^2+1)}{2} = \left(\frac{j(j-1)}{2}\right)^2+\left(\frac{j(j+1)}{2}\right)^2 $$ lo cual es cierto.