Necesidad de probar la secuencia $a_n=1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{n^2}$ converge

Question

Necesito probar que la secuencia $a_n=1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{n^2}$ converge. No tengo que encontrar el límite. He intentado probarlo demostrando que la secuencia es monótona y limitada, pero tengo algunos problemas:

Monótona:

La secuencia parece ser monótona y creciente. Esto se puede probar por inducción: Afirmar que $a_n \leq a_{n+1}$ $$a_1=1 \leq 1+ \frac {1}{2^2}=a_2$$

Necesita mostrar que $a_{n+1} \leq a_{n+2}$ $$a_{n+1}=1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{n^2}+ \frac {1}{(n+1)^2} \leq 1+ \frac {1}{2^2}+ \frac {1}{3^2}+ \cdots + \frac {1}{n^2}+ \frac {1}{(n+1)^2}+ \frac {1}{(n+2)^2}=a_{n+2}$$ Por lo tanto, la secuencia es monótona y creciente.

Límites:

Dado que la secuencia está aumentando, está limitada por debajo por $a_1=1$ . El límite superior es donde tengo problemas. Todos los ejemplos que he tratado en clase tienen que ver con funciones decrecientes, pero no sé cuál debería ser mi proceso de pensamiento para encontrar un límite superior.

¿Alguien puede aclararme cómo debo abordar esto, y puede alguien confirmar mi trabajo hasta ahora? También, aunque pruebe esto usando monotonicidad y limitación, ¿podría haber abordado esto mostrando que la secuencia era una secuencia caucásica?

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Su trabajo se ve bien hasta ahora. Aquí hay una pista : $$ \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$

---

Para elaborar, aplique la pista para obtener: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \le \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) $$

Obsérvese que hemos tenido que omitir el término $1$ porque la desigualdad de la pista sólo es aplicable cuando $n > 1$ . No hay problema; lo añadiremos más tarde.

Observa también que todos los términos del lado derecho se anulan, excepto el primero y el último. Por lo tanto: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \le 1 - \frac{1}{n} $$

Añadir $1$ a ambos lados para conseguir: $$ a_n \le 2 - \frac{1}{n} \le 2 $$

De ello se desprende que $a_n$ está acotada por arriba y, por tanto, es convergente.

Cabe destacar que el comportamiento de cancelación que vimos aquí se llama telescópico . Consulta el artículo de la wikipedia para ver más ejemplos.

Answer 2

Además de la respuesta de Ayman, puede tomar $f(x)=\frac{1}{x^2}$ en $[1,+\infty)$ y ver que $f'(x)=-2x^{-3}$ y luego es decreciente sobre $[1,+\infty)$ . $f(x)$ también es positivo y continuo, por lo que se puede utilizar el prueba integral para $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$ para ver que la serie es convergente. Ahora su $a_n$ es el $n-$ El resumen de esta serie.

Answer 3

Esto también se puede mostrar geométricamente.

Si tomas un cuadrado, y divides la altura en $\frac 12$ , $\frac 14$ , $\frac 18$ y así sucesivamente, duplicando el denominador en cada operación.

Ahora toma los cuadrados $\frac 12$ y $\frac 13$ : estos van en el estante superior.

En el segundo estante van $\frac 14$ a $\frac 17$ . Estas fracciones son todas menores que $\frac 14$ Así que encaja en el segundo estante. Asimismo, los cuadrados de $8$ a $15$ ir al tercer estante, cada uno $\frac 1n$ es menor que $\frac 18$ y así sucesivamente.

Por lo tanto, $\sum_{n=2}^{\infty}\frac 1n < 1$ y, por lo tanto, todo el lote tiene menos de dos casillas.

Answer 4

Por la prueba integral :

$\int^\infty_1 \frac{1}{n^2} dn \le \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2}\le 1+\int^\infty_1 \frac{1}{n^2}dn$ .

se puede calcular la integral por lo que la respuesta es :

$1 \le \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2}\le 2$ .

porque : $\int^\infty_1 \frac{1}{n^2} dn =1 $

Answer 5

Una pista: Demuestre que lo siguiente es válido para todos los $n$ por inducción.

$$\sum_1^n \frac{1}{k^2} \le 2 - \frac{1}{n}.$$

No es raro que al demostrar alguna desigualdad por inducción, primero haya que reforzar la hipótesis para que la inducción funcione.

Puedes utilizar la misma técnica para acotar otros valores de la función zeta. Por ejemplo, intenta mostrar $\zeta(3)$ está limitada por encima por $\frac{3}{2}$ .

(Estoy copiando mi respuesta de una pregunta duplicada que se cerró como copia de esta, ya que el enfoque de inducción no está disponible aquí).