Verificar la prueba de $ \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n < e^x \,\text{and} \, e^x < \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n}$

Question

El siguiente es de Tom Apostol del Cálculo I, en la página 250, ejercicio 42.:

Si $\mathit{n}$ es un entero positivo y si $\mathit{x} > 0$, muestran que
$$ \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n < e^x \text, \qquad \text{and that} \qquad e^x < \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n} \quad \text{if} \quad x < n. $$

No hay ninguna solución que se ofrece en el libro, me gustaría preguntar a alguien para comprobar si la mina es la correcta:

La integración de la desigualdad de $ 1 > \frac{1}{1 + \frac{x}{n}} $ obtenemos que

$$ \int_0^x{1dt} > \int_0^x{\frac{1}{1 + \frac{t}{n}}dt} \qquad \text{produciendo} \qquad x > n\log\left(1 + \frac{x}{n}\right). $$

Desde $ e $ es estrictamente creciente de ello se sigue que $$ e^x > \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}. $$

Del mismo modo, la integración de $ 1 < \frac{1}{1 - \frac{x}{n}} $ obtenemos que $$ \int_0^x{1dt} < \int_0^x{\frac{1}{1 - \frac{t}{n}}dt} \qquad \text{yielding} \qquad x < -n\log\left(1 - \frac{x}{n}\right) . $$ De ello se sigue que $$ e^x <\left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n} . $$

Answer 1

Las pruebas se ven bien.

Otro enfoque es utilizar el hecho de que $e^x\ge1+x$ todos los $x\in\mathbb{R}$, con desigualdad estricta para $x\ne0$. Esto se desprende de la estricta convexidad de $e^x-1-x$ y su mínimo de $0$$x=0$.

Entonces tenemos para $x\gt0$, $$ e^{x/n}\gt1+\frac xn\implica e^x\gt\left(1+\frac xn\right)^n\etiqueta{1} $$ y $$ e^{-x/n}\gt1-\frac xn\implica e^x\lt\left(1-\frac xn\right)^{-n}\etiqueta{2} $$ La desigualdad de $(2)$ hace depender del hecho de que $x\lt n$, de modo que la cantidad que se está elevado a la potencia negativa es positiva.