Corte de número de la botella de Klein y otros no-orientable superficies

Question

¿Cuál es el máximo número de $c$ (corte de número) de los no-intersección (edit: dos caras) círculos en una botella Klein $N_2$ y, en general, una superficie de $N_h$ $h$ Möbius tiras, de tal manera que el corte de estos círculos hojas de $N_h$ conectado?

Esto debería ser (o es?) el mismo como co-rango (rango máximo de un libre homomorhic imagen) de su grupo fundamental de la $$G=\pi_1(N_h)=\langle a_1,a_2,\dots,a_h\mid a_1^2a_2^2\dots a_h^2=1\rangle.$$ Obviously $corank\ G\ge\left[\frac h2\right]$, pero es que es más grande?

Para una superficie orientable de género $M_g$, esto es $g$.

Answer 1

Es cierto que $c=\lfloor \frac{h}{2} \rfloor$, he aquí una prueba.

Corte a lo largo de un círculo no cambia la característica de Euler. Por lo que la superficie conectada con el límite que se obtiene de $N_h$ por corte a lo largo de esos círculos, que voy a denotar $P_h$, tiene la misma característica de Euler como $N_h$: $$\chi(P_h) = \chi(N_h) $$ Esta característica de Euler es igual a $2-h$ porque, como usted dice, $N_h$ "ha $h$ Mobius tiras", que interpreto como decir que el número máximo de pares distintos bandas de Möbius en $N_h$ es igual a $h$, que es equivalente a decir que el $N_h$ se obtiene a partir de una esfera con $h$ agujeros mediante la identificación de los límites de los agujeros con los límites de $h$ Mobius tiras.

También, la superficie de la $P_h$ $2c$ límite componentes. Cuando la tapa de cada uno de estos círculos de costura en un disco y el resultado es una superficie cerrada, que voy a denotar $Q_h$, tiene la característica de Euler $$\chi(Q_h) = \chi(P_h) + 2c = 2-h+2c $$

Ahora bien, hay dos casos.

Supongamos $Q_h$ es orientable. Debe ser una esfera y por lo $\chi(Q_h)=2$, porque de lo contrario $Q_h$ tiene un nonseparating 2 caras círculo, dando lugar a un adicional nonseparating 2 caras círculo en $N_h$, una contradicción. Tenemos $2-h+2c=\chi(Q_h)=2$ $h$ es regular y $$c = \frac{h}{2} = \biggl\lfloor \frac{h}{2} \biggr\rfloor $$

Supongamos $Q_h$ es nonorientable. Debe ser un plano proyectivo y por lo $\chi(Q_h)=1$; esto es por la misma razón que antes, porque de lo contrario $Q_h$ contiene un adicional de nonseparating 2 caras círculo (como $Q_h$ debe contener uno de los orificios de la botella de Klein). Tenemos $2-h+2c=\chi(Q_h)=1$ $h$ es impar y $$c = \frac{h}{2} - \frac{1}{2} = \biggl\lfloor \frac{h}{2} \biggr\rfloor $$

Una cosa que me parece interesante de esta pregunta es que revela algo que yo no sabía, es decir, que el corte de $N_h$ a lo largo de la máxima de 2 caras de la curva de resultados del sistema en una superficie orientable si y sólo si $h$ es incluso.

Answer 2

Corank $r$ no puede ser mayor que $c$. De lo contrario, considere la posibilidad de un PL mapa de $f$ $N_h$ para el ramo $B$ $r$ círculos que induce a la epimorphism $\pi_1(N_h)\to F_r$. A continuación, tomar preimages de genéricos, puntos en los bordes de $B$ bajo $f$. Debido a genericity de los puntos, el preimages formar un 2 caras 1-dimensional submanifold $L$$N_h$. Algunos de los círculos en $L$ puede ser homóloga a cada uno de los otros o nulo homóloga. La eliminación de la homólogos duplicados y null homóloga cicrles, obtenemos un sistema de $L'$ $\ge r$ círculos en $N_h$ corte a lo largo de lo que resulta en una superficie conectada. Relacionar a $h$, el uso de Lee Mosher en la respuesta o la que me dio a esta pregunta.