Exponencial de los operadores

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert $\exp(T)$ el exponencial de un operador $T \in L(H)$ . Sé que $\exp(A)^{*} \exp(A)=\exp(A) \exp(A)^{*}=id$ . ¿Puedo concluir que $A^{*}A=AA^{*}$ ? No se puede encontrar un ejemplo de contador ni tuvo éxito mis intentos de reordenación. Se agradece cualquier pista. EDITAR: Para mi tarea sólo necesito que pueda concluir $$ \exp(A)\exp(A)^{*} = \exp(A)^{*}\exp(A) = \exp(A+A^*) $$

Answer 1

El resultado que más se parece a lo que podría estar buscando es el siguiente resultado de E. Hille (véase el teorema 4 de la página 54 aquí ) : Para un operador $T \in L(H)$ decimos que $\sigma(T)$ es incongruente $\pmod{2\pi i}$ si $$ \sigma(T)\cap [\sigma(T) + 2k \pi i] = \emptyset\quad\forall k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\} $$ En otras palabras, si $\lambda_1,\lambda_2 \in \sigma(T)$ tal que $\exists k \in \mathbb{Z}$ tal que $2k\pi i = \lambda_1 - \lambda_2$ entonces $\lambda_1 = \lambda_2$ .

El teorema dice entonces que

Si $T_1, T_2 \in L(H)$ son tales que $e^{T_1} = e^{T_2}$ y $\sigma(T_1)$ es incongruente $\pmod{2\pi i}$ entonces $T_1$ y $T_2$ de viaje.

Asumiendo este resultado, podemos demostrar

Si $A \in L(H)$ es tal que $\sigma(A)$ es incongruente $\pmod{2\pi i}$ y $e^A$ es un unitario, entonces $A$ es normal.

Prueba:

Simplemente considere $$ e^{A^{\ast}} = (e^A)^{\ast} = (e^A)^{-1} = e^{-A} $$ Así que por el resultado de Hille, $A^{\ast}$ y $-A$ de viaje.

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No estoy seguro de cómo comprobar que el espectro es incongruente $\pmod{2\pi i}$ pero una condición sencilla podría ser controlar el radio espectral (por ejemplo, si $r(A) \leq \pi$ y $i\pi \notin \sigma(A)$ )