La densidad de los racionales en los reales

Question

Mientras que el estudio de teoría de la medida me he encontrado con la siguiente, $$U_\varepsilon=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(q_n-\varepsilon /2^n,q_n+\varepsilon/2^n),$$ donde $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es una enumeración de los racionales en $[0,1]$. Tenemos $$m^*(U_\varepsilon)\le \sum_{n\in \mathbb{N}}2\varepsilon/2^n=2\varepsilon,$$ and thus for $\varepsilon$ small enough, $U_\varepsilon$ does not contain every irrational in $[0,1]$.

Si nos es permitido usar cualquier función de $f$, de modo que $f(n)\to 0$ y mira $$U_{f,\varepsilon}:=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(q_n-\varepsilon f(n),q_n+\varepsilon f(n)),$$where $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ is an enumeration of the rationals in $[0,1]$,

1. ¿Existe una función de este tipo $f$, de modo que $[0,1]\subset U_{f,\varepsilon}$ por cada $\varepsilon >0$?

2. ¿Cuáles son los asymptotics de $f$ asegurar $[0,1]\subset U_{f,\varepsilon}$ por cada $\varepsilon >0$?

3. ¿Cuál es la dependencia en la enumeración?

Y, más en general,

4. ¿Qué más sabemos acerca de este concepto?

Answer 1

Parece que el siguiente.

3.De cualquier forma monotónica $f$ tal que $f(1)\le 1/2$ $f(n)\to 0$ y cualquier irracional $\alpha\in [0,1]$ existe una enumeración $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de los racionales en $[0,1]$ tal que $U_{f,1}\not\ni\alpha$. Para este propósito, mientras que la enumeración de los racionales de $[0,1]$ es suficiente para elegir a $q_n\not\in (\alpha-f(n), \alpha+f(n))$. Desde $f(n)\to 0$, esta restricción nos permite enumerar todos los racionales de $[0,1]$.

4.Deje $\alpha\in [0,1]$ ser cualquier número irracional e $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser cualquier enumeración de los racionales en $[0,1]$. Para cada natural $n$ puesto $f(n)=\min \{|q_m-\alpha|:m\le n\}$. A continuación,$U_{f,1}\not\ni\alpha$, pero $f(n)\to 0$, porque racionales son densos en $[0,1]$.

1.Deje $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser cualquier enumeración de los racionales en $[0,1]$. Para cada natural $n$ deje $g(n)$ indica el número de la última aparición de un racional con denominador $n$. Claramente, $g(n)\to\infty$. Si la función de $f$ es monótona no creciente y $f(g(n))>1/n$ $[0,1]\subset U_{f,\varepsilon}$ por cada $\varepsilon >0,$ porque si $n\ge 1/\varepsilon$ $U_{f,\varepsilon}\supset \{q_m:m\le g(n)\}+[-1/n,1/n]\supset [0,1].$