La prueba de que este diferencial de la forma no es exacta

Question

Por favor, alguien puede verificar la prueba de que $\psi = {x dy - y d x\over x^2 + y^2}$ no es exacta?

Aquí está mi trabajo:

Si $\psi$ fue exacto existiría $f:\mathbb R^2 \setminus \{0\} \to \mathbb R^2 \setminus \{0\}$ tal que $df = f_x dx + f_y dy = \psi$. Aquí $f_x = {-y \over x^2 + y^2}$$f_y = {x \over x^2 + y^2}$.

Sería cierto que $\int f_x dx = \int f_y dy = f$. Así que me calcular estas integrales:

$$ \int f_x dx = -{1\over 2}\log(x^2 + y^2)$$

y

$$ \int f_y dy = {1\over 2}\log(x^2 + y^2)$$

Está claro que estos no pueden ser iguales, por tanto, $\psi$ no es exacto.

Editar

La primera cosa que yo había intentado (no de trabajo) fue calcular la integral a lo largo de una curva cerrada:

$$ \int_{S^1}\psi = \int_{S^1} {x \over x^2 + y^2} dy - \int_{S^1} {y \over x^2 + y^2} dx = \int_{S^1} x dy - \int_{S^1} y dx= x \int_{S^1} dy - y \int_{S^1} dx = 0$$

desde $\int_{S^1}dx = 0$.

Answer 1

Por el Verde del teorema,

$$\int_{S^1} \psi = \int_{S^1} x\, dy - y\, dx = \iint_{D^2} \text{div}(\langle x,y\rangle)\, dA = 2\cdot \text{Area}(D^2) = 2\pi$$

Alternativamente, parametrizar $S^1$ mediante el establecimiento de $x = \cos(t)$, $y = \sin(t)$, $0 \le t \le 2\pi$. A continuación, $$\int_{S^1} \psi = \int_0^{2\pi} (\cos(t)\cdot \cos(t) - \sin(t)\cdot (-\sin(t)))\, dt = \int_0^{2\pi} (\cos^2(t) + \sin^2(t))\, dt = 2\pi$$

De cualquier manera, $\int_{S^1} \psi \neq 0$.