Recuento de elementos en $\Bbb{Z}_7[x]/(3x^2+2x)$

Question

Hola tengo un problema como obtener el conteo de elementos en $\Bbb{Z}_7[x]/(3x^2+2x)$ . Creo que sólo hay polinomios que son indivisibles con $3x^2+2x$ ( $\gcd=1$ ). Creo que es así por lo que sé que por ejemplo en cada $\Bbb{Z}_m$ , $m$ primo, es el recuento de elementos pertenecientes eqauls a $\phi(m)$ . Pero realmente no sé cómo obtener estos polinomios de alguna manera eficiente.

Answer 1

CONSEJO $\ $ Utiliza el algoritmo de división en $\rm\ \mathbb Z_7[x]\ $ para demostrar que todo polinomio $\rm\ f(x)\ \in\ \mathbb Z_7[x]\ $ es congruente $\rm\ mod\ \ 3\ x^2 + 2\ x\ $ a un polinomio único de grado $\:\le 1\:$ a saber $\rm\ f(x)\ \ mod\ \ 3\ x^2 + 2\ x\:,$ análogo al hecho de que cada elt de $\rm\ \mathbb{Z}/m\ $ tiene un único representante en $\rm\:\{0,1,\cdots,\:m-1\}\:.$

El resultado análogo es válido para cualquier anillo si el coeficiente principal del polinomio es una unidad, es decir $\rm\ |R[x]/(f(x))|\ =\ |R|^n\ $ para cualquier $\rm\ f(x) \in R[x]\ $ tener título $\rm\:n\:$ y coeficiente de avance unitario. La hipótesis sobre el coeficiente principal garantiza que se puede dividir por $\rm\:f(x)\:$ con único resto. De hecho, el algoritmo estándar de división larga de la escuela secundaria funciona claramente, y si hubiera dos restos desiguales de grado $\rm < n$ entonces su diferencia sería divisible por $\rm\:f\:,$ lo cual es imposible ya que los múltiplos de $\rm\:f\:$ tener un título $\ge n$ (si no, el coeficiente principal de $\rm\:f\:$ es un divisor cero, no una unidad).

Answer 2

Sima: Trabajando con polinomios con coeficientes en ${\mathbb Z}_7$ (pero lo mismo vale para cualquier campo), cualquier polinomio $p$ cuando se divide por un polinomio $q$ de grado superior a $0$ produce un resto $r$ que es un polinomio de grado estrictamente menor que $q$ . Si $q(x)=3x^2+2x$ el resto $r$ es entonces un polinomio de grado 1 o inferior, es decir, tiene la forma $ax+b$ donde $a,b$ son elementos de ${\mathbb Z}_7$ .

Dos elementos de ${\mathbb Z}_7[x]$ se identifican en el cociente por $3x^2+2x$ si tienen el mismo resto, por lo que los elementos de ${\mathbb Z}_7[x]/3x^2+2x$ se corresponden con los residuos que, por el párrafo anterior, son precisamente los polinomios lineales $ax+b$ . Existen 7 posibilidades para $a$ y 7 para $b$ para un total de $7^2=49$ elementos.

Answer 3

El resultado se deduce del siguiente teorema:

Teorema. Sea $F$ sea un campo finito de orden $q$ y que $p(x)$ sea un polinomio en $F[x]$ de grado $n \geq 1$ . Entonces $F[x]/(p(x))$ tiene orden $q^n$ .