El uso de métodos numéricos para calcular la integral

Question

$$ \mbox {¿Cómo puedo ir sobre el cálculo de}\quad \int_{0}^{\infty}\,{\rm e}^{-100\,x^{2}}\,{\rm d}x\quad \mbox{a}\ {\sf\mbox{cinco}}\ \mbox{decimales de precisión ?.} $$

¿Puedo usar la Regla de Simpson ?. Si es así, ¿no sería el cálculo de la cuarta derivada ser un dolor, y lo que acerca de máximos ?.

Answer 1

Ya que queremos aproximada: $$ I = \frac{1}{10}\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx $$ es suficiente para tener una aproximación: $$ J = \int_{0}^{4}e^{-x^2}\,dx,\tag{1} $$ desde: $$ \int_{4}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx = e^{-16}\int_{0}^{+\infty}e^{-8x-x^2}\,dx \leq \frac{1}{8e^{16}}.$$ Para lograr una buena aproximación para $(1)$, es suficiente para integrar termwise la serie de Taylor de $e^{-x^2}$: $$e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}x^{2k}, $$ $$\int_{0}^{4}e^{-x^2}\,dx = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k 4^{2k+1}}{(2k+1)k!}.\tag{2}$$ Por Leibniz regla, sólo tenemos que encontrar una $k$ tal forma que: $$\frac{4^{2k+1}}{(2k+1)k!}<10^{-4}.$$ Con algunos crudo en lugar obligado para $k!$, no es difícil probar que $k=50$ es suficiente, por lo que: $$ I \approx \frac{1}{10}\sum_{k=0}^{50}\frac{(-1)^k 4^{2k+1}}{(2k+1)k!}.\tag{3}$$