Suma directa de los complejos

Question

¿Cómo puedo averiguar la clásica construcción (directo de la suma, producto, pullbacks, y en general directa e inversa de los límites) en la categoría hechas por los complejos de la cadena y la cadena de mapas (de abelian grupos o cualquier abelian cosas)? Porque de esta categoría es abelian se debe tener (co)de los límites, ¿no?

En particular, tener $$ \begin{gather*} \dots\to A_n\to A_{n-1}\to\dots\\ \dots\to B_n\to B_{n-1}\to\dots \end{reunir*} $$ Me gustaría decir que $\mathcal A\oplus\mathcal B$ es "lo que yo quiero ser", $A_n\oplus B_n$ con evidente mapas. Pero un argumento estándar no me permiten concluir que: tal vez es falso? Una sola palabra con el derecho de referencia será suficiente para cerrar el tema; ahora estoy leyendo Hilton & Stammbach.

Edit: me gustaría añadir que lo he intentado, pero parece difícil a no invocar algunos diagramas, que yo no soy capaz de dibujar sin un paquete adecuado aquí. Sin embargo, el primero de todos, tanto de los complejos de inyectar en la suma de los mapas que son parte de un chian complejo, $\iota_n^A,\iota_n^B$. A continuación, considere la posibilidad de otro complejo de $\{C_n,\partial_n^C\}$, y un par de mapas de la cadena de $\{a_n\colon A_n\to C_n\}$, $\{b_n\colon B_n\to C_n\}$. Para cada una de las $n$ existe un mapa de $\alpha_n\colon A_n\oplus B_n\to C_n$ factoring el $a_n$ e las $b_n$s. A continuación, me gustaría mostrar que los mapas de $\alpha_n$ son parte de una cadena de mapa entre la suma y la compleja $\mathcal C$, pero tratando de demostrar que sólo puedo concluir que en el diagrama (filas verticales son las $\alpha_n$s) $$ \begin{array}{ccc} A_n\oplus B_n &\xrightarrow{\partial_n^\oplus}& A_{n-1}\oplus B_{n-1} \\ \downarrow && \downarrow\\ C_n &\xrightarrow[\partial_n^C]{}& C_{n-1} \end{array} $$ que quiero ser conmutativa, aka $\alpha_{n-1}\partial_n^\oplus=\partial_n^C\alpha_n$, he a $\alpha_{n-1}\partial_n^\oplus\iota_n^A=\partial_n^C\alpha_n\iota_n^A$. ¿Cómo puedo quitar el iotas?

Answer 1

En un preadditive categoría (es claro que los complejos de la cadena son preadditive), la idea de una suma directa puede ser descrito de forma directa. Dados dos objetos de $A, B$, una suma directa de $C$ ha morfismos $i_1: A \to C, i_2: B \to C$ y las proyecciones de $p_1: C \to A, p_2: C \to B$ que satisfacer $i_1 p_1 + i_2 p_2 = 1_C$$p_1 i_1 = 1_A, p_2 i_2 = 1_B$. De hecho, no es fácil conseguir este tipo de mapas en una suma directa (inclusión y proyección); por el contrario si queremos obtener los mapas, uno puede comprobar que $C$ es un subproducto y producto directo de manera explícita el uso de estos mapas. Es decir, se verifica que tales mapas de garantía una suma directa en el caso de abelian grupos y, a continuación, se aplica hom-conjuntos y Yoneda tonterías (si tenemos $\hom(X, C) = \hom(X, A) \oplus \hom(X, B)$ todos los $X$ natural, entonces estamos de hecho). Estoy siendo un poco vago aquí y sólo bosquejos; si no está claro, puedo aclarar.

Esto es claro en el caso de la construcción de los complejos de la cadena que se describe anteriormente. Los mapas de $p_1, p_2, i_1, i_2$ son los naturales de las proyecciones y las inclusiones de funciones definidas a trozos. Son mapas de complejos, como se puede comprobar, y cubrir las identidades, ya que hacer para abelian grupos.

Answer 2

La categoría de los complejos en un abelian categoría $\mathcal{A}$ es una subcategoría de $\text{Fun}({\mathbb{Z}},\mathcal{A})$ donde $\mathbb{Z}$ está parcialmente ordenado en virtud de revertir la desigualdad. Así que, si conocemos cómo estas construcciones se realizan en la categoría de functors de$\mathbb{Z}$$\mathcal{A}$, vamos a tener los candidatos naturales a la categoría de complejos. El resultado estándar es que la (co)límites en $\text{Fun}({\mathcal{D}},\mathcal{C})$ donde $\mathcal{D}$ es una categoría pequeña y $\mathcal{C}$ es una categoría, se calculan pointwise. Echa un vistazo a Borceux del 'Manual de Categórico Álgebra, Vol.$1$' la sección $2.15$. Allí se explica el significado preciso de ser calculada pointwise.

Desde cualquier abelian categoría es finitely (co)completa, podemos calcular cualquier número finito (co)en el límite de $\text{Fun}({\mathbb{Z}},\mathcal{A})$ pointwise. Si consideramos una (co)completar categoría, por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo, podemos calcular cualquier (co)límite de pointwise.

Si usted piensa que Borceux del libro es demasiado concisa, hay una discusión similar en Rotman "Una Introducción al Álgebra Homológica" en la página $317$.

Añadido: En el fin de eliminar las iotas usted tendrá que demostrar que $\alpha_{n-1}\partial_n^\oplus\iota_n^B=\partial_n^C\alpha_n\iota_n^B$. Ahora uso el hecho de que no es sólo uno de los morfismos $\varphi: A_n \oplus B_n \rightarrow C_{n-1}$ tal que $\varphi \iota_n^A = \alpha_{n-1}\partial_n^\oplus\iota_n^A$$\varphi \iota_n^B = \alpha_{n-1}\partial_n^\oplus\iota_n^B $.