Cómo abordar el producto "punto" para las matrices de espín

Question

Hoy he leído un libro de texto de mecánica cuántica sobre las matrices de espín de Pauli para dos partículas, da el Hamiltoniano como $$ H = \alpha[\sigma_z^1 + \sigma_z^2] + \gamma\vec{\sigma}^1\cdot\vec{\sigma}^2 $$ donde $\vec{\sigma}^1$ y $\vec{\sigma}^2$ son las matrices de espín de Pauli para dos partículas por separado. Creo que $\sigma_z$ es la componente z, he encontrado que $$ \sigma_z = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $$ que es una matriz de 2x2. Me pregunto si el $\sigma_z$ ¿es el mismo para la partícula 1 y 2? si es así,

$$ \sigma_z^1 + \sigma_z^2 = 2\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $$ ¿Es eso cierto? La parte más confusa es $\vec{\sigma}^1\cdot\vec{\sigma}^2$ Hay dos matrices involucradas, así que ¿cómo funciona el producto punto? Estoy tratando de resolver los valores propios de H, me parece que cada $\sigma_z^1$ y $\sigma_z^2$ es 2x2, por lo que hay dos valores propios, ¿es correcto?

Answer 1

La expresión que escribió para $\sigma_z^1 + \sigma_z^2$ no es del todo correcto, pero no es de extrañar que no estés seguro de cómo proceder porque la notación oscurece un poco las verdaderas matemáticas que hay detrás de todo esto. Lo que realmente sucede aquí son manipulaciones con productos tensoriales de los espacios de Hilbert.

El estado de espín de un solo espín- $\frac{1}{2}$ es un elemento de un espacio de Hilbert bidimensional, llamémoslo $\mathcal H_\frac{1}{2}$ . El estado de espín de un sistema formado por dos espines $\frac{1}{2}$ partículas es $\mathcal H_\frac{1}{2}\otimes\mathcal H_\frac{1}{2}$ llamado producto tensorial de $\mathcal H_\frac{1}{2}$ con ella misma.

Si $|+\rangle$ y $|-\rangle$ son los elementos base habituales de spin up y spin down para $\mathcal H_\frac{1}{2}$ , es decir, los vectores propios de $\sigma_z$ con valores propios $\pm\frac{\hbar}{2}$ $$ \sigma_z|+\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle, \qquad \sigma_z|-\rangle = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle $$ entonces una base para el producto tensorial $\mathcal H_\frac{1}{2}\otimes\mathcal H_\frac{1}{2}$ consiste en todos los productos tensoriales de los elementos base de $\mathcal H_\frac{1}{2}$ de los cuales hay $4$ en este caso; $$ |+\rangle\otimes|+\rangle, \qquad |+\rangle \otimes|-\rangle, \qquad |-\rangle \otimes |+\rangle, \qquad |-\rangle \otimes|-\rangle $$ En particular, nótese que la dimensión del espacio vectorial del espín de dos partículas $\frac{1}{2}$ es el doble de la dimensión del sistema de espín de una sola partícula.

Hasta aquí, hemos sentado las bases para definir lo que $\sigma^1_z$ y $\sigma^2_z$ son. Los superíndices significan simplemente que el operador en cuestión sólo actúa sobre el primer o el segundo factor en un estado de producto tensorial dependiendo de si el superíndice es un $1$ o un $2$ . Por ejemplo $$ \sigma_z^1(|+\rangle\otimes|-\rangle) = (\sigma_z |+\rangle)\otimes|-\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle\otimes|-\rangle $$ mientras que $$ \sigma_z^2(|+\rangle\otimes|-\rangle) = |+\rangle\otimes(\sigma_z|-\rangle) = -\frac{\hbar}{2}|+\rangle\otimes|-\rangle $$ y de hecho se escribe $$ \sigma^1_z = \sigma_z\otimes I, \qquad \sigma_z^2 = I\otimes \sigma_z $$ que indica que, por ejemplo $\sigma_z^1$ actúa como $\sigma_z$ en el primer factor del producto tensorial y como la matriz identidad en el segundo factor, y viceversa para $\sigma_z^2$ . Del mismo modo, si escribimos $$ \vec\sigma^1\cdot\vec\sigma^2 = \sigma_x^1\sigma_x^2 + \sigma_y^1\sigma_y^2+\sigma_z^1\sigma_z^2 $$ entonces cada operador con un $1$ sólo actúa de forma no trivial sobre el primer factor en un estado de producto tensorial, mientras que todo operador con un superíndice $2$ sólo actúa de forma no trivial sobre el segundo factor en un estado de producto tensorial.

Answer 2

Esto suele ser confuso para la gente que se está familiarizando con la QM y hay que mirarlo durante un rato y convencerse de cómo funciona.

En primer lugar $\sigma^{x,y,z}$ son los Matrices de espín de Pauli y $\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 \equiv \sigma_1^x \otimes \sigma_2^x + \sigma_1^y \otimes \sigma_2^y + \sigma_1^z \otimes \sigma_2^z$

El $\sigma_z$ para cada partícula puede tener la misma forma matricial, pero recuerda para cada partícula actúa en un espacio de Hilbert diferente . $\sigma_1^z$ actúa sobre el espacio de Hilbert de la partícula 1 y $\sigma_2^z$ actúa sobre el espacio de Hilbert de la partícula 2.

Cuando se considera cada uno de los tres términos en $\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$ recuerda que $\sigma_1^i$ y $\sigma_2^i$ actúan en diferentes espacios de Hilbert. El espacio de Hilbert de cada espín $s$ la partícula es $2s+1$ dimensional, que para un giro $1/2$ la partícula es $2$ dimensional. Así que el combinado El espacio de Hilbert es $2 \times 2 = 4$ dimensional. Este total El espacio de Hilbert es lo que $\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$ actúa sobre.

Así, el sistema tiene 4 estados en el total Espacio de Hilbert. Debes construir el hamiltoniano como un $4 \times 4$ matriz que actúa sobre este espacio total de Hilbert. A continuación, se puede diagonalizar para encontrar el espectro (valores propios) y los estados propios (vectores propios).

Obsérvese que mi notación es ligeramente diferente a la tuya. Los operadores en su notación (llamémoslos $\Sigma$ ), en términos de los operadores en mi notación ( $\sigma$ ) será: $\Sigma_1 = \sigma_1 \otimes \mathbf{1}$ y $\Sigma_2 = \mathbf{1} \otimes \sigma_2$ . Ahora bien, como ambos $\Sigma_1$ y $\Sigma_2$ actúan en el mismo espacio de Hilbert $\mathcal{H}_{tot}$ podemos añadirlos. El hamiltoniano estará entonces dado por $$H = \alpha [\Sigma_1 + \Sigma_2] + \gamma \vec{\Sigma}_1 \cdot \vec{\Sigma}_2$$

Entender este sistema

Nótese que este Hamiltoniano da energía $y$ si los dos espines de las partículas están alineados en paralelo y $\alpha$ para lo que esté alineado a lo largo de la dirección z (normalmente es un campo magnético externo en la dirección z).

Consejos

• Una base conveniente para el sistema total debería ser $|--\rangle$ , $|-+\rangle$ , $|+-\rangle$ , $|++\rangle$ . Escriba el $4 \times 4$ matriz para la intercambiar en esta base y encontrar los estados propios.
• Nótese que este Hamiltoniano es simétrico bajo el intercambio de las dos partículas. Así que si se construye el intercambiar en el espacio de estados, que es una simetría del Hamiltoniano... ¡lo que significa que los estados propios del operador de intercambio y del Hamiltoniano serán los mismos! Así que habrás encontrado los vectores propios. Entonces encontrar los valores propios debería ser sencillo.

Answer 3

La notación de puntos significa escribir una suma de tres términos haciendo coincidir las matrices x, y, z para las dos partículas, como si $\vec{\sigma}^1$ fuera un vector $(\sigma_x^1,\sigma_y^1,\sigma_z^1)$ y lo mismo para la partícula 2. $$ \vec{\sigma}^1\cdot\vec{\sigma}^2 = \sigma_x^1\sigma_x^2 + \sigma_y^1\sigma_y^2 + \sigma_z^1\sigma_z^2 $$

Tenga en cuenta que $\sigma_i^1$ y $\sigma_i^2$ actúan por separado como matrices; no se multiplican entre sí.

Tenemos $$ \sigma_z^1 = \left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right) $$ but acting only on the particle #1 factor of the wavefunction, and $$ \sigma_z^2 = \left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right) $$ acción sólo en el factor de la partícula #2.

Por ejemplo, si tienes alguna función de onda (no necesariamente un estado propio de nada) siendo la partícula #1 de espín arriba y la partícula #2 de espín abajo, $$ \psi =\psi^1\psi^2 = {\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^2 $$ and some arbitrary matrix acting on particle #1, $$ U^1 = \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) $$ y otra matriz arbitraria para la partícula #2, $$ V^2 = \left(\begin{matrix}e&f\\g&h\end{matrix}\right) $$ then $$ U^1 \psi = (U^1\psi^1 )\psi^2 = {\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^2 $$ y $$ V^2 \psi = \psi^1(V^2\psi^2 ) = {\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}^1{\left(\begin{matrix}f\\h\end{matrix}\right)}^2 $$

Hay que tener en cuenta que añadir superíndices a los espinores de columna para indicar la identidad de las partículas no es una práctica habitual fuera de los libros de texto o de los lugares en los que hay que explicar las cosas con tanto detalle. Una forma común de tratar esto es formar un espacio de cuatro dimensiones, el producto de los dos espacios de espín de las partículas. Los vectores base serían $\uparrow^1\uparrow^2, \uparrow^1\downarrow^2, \downarrow^1\uparrow^2, \downarrow^1\downarrow^2$ o alguna bonita combinación lineal.

Piénsalo: necesitamos un índice para contar a lo largo de las componentes del espinor (el espacio de Hilbert bidimensional de los números complejos), un índice para contar las dimensiones espaciales (x,y,z) y un índice para contar las partículas. Estamos tratando con una entidad tridimensional, una matriz con filas, columnas y "otra". Si nos atenemos a la física teórica, añadiremos carga cromodinámica, más dimensiones espaciales para tratar el espacio-tiempo curvado, y espolvorearemos una pizca de supersimetría o tecnicolor o lo que sea que esté de moda entre los niños de hoy en día. Y te referirás a las matrices de Pauli como "coeficientes de Clebsch-Gordan", pero al menos son el caso no trivial más sencillo. ¡Diviértete!

Answer 4

En realidad "creo" que este tema no está realmente "resuelto"...

La expresión 1/2 (σx⊗σx +σy⊗σy +σz⊗σz) es introducida por P. Dirac en su famoso libro "The Principles of Quantum Mechanics" IV ed. cap IX p. 221 donde utiliza esta expresión (en realidad no escribe explícitamente el signo del tensor o producto de Kronecker ⊗ pero se "entiende" que le corresponde). Utiliza esta expresión para obtener un operador de permutación para partículas de espín 1/2 (electrones). Luego lo "identifica" con la expresión (σ⃗,σ⃗), pero no da ninguna justificación física para la notación.... Utiliza estas expresiones para calcular la energía de intercambio, que es un tema fundamental de la Física (Magnetismo) y está ligado al principio de simetría de Pauli.

Quizá alguien tenga otras referencias "antiguas".

Zeno Toffano

Gif-sur-Yvette

Francia