¿consecuencia del teorema del valor medio?

Question

Supongamos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es diferenciable en (0,1) y continua en [0,1]. Quisiera afirmar que si f(0)=0, y $|f'(x)|\leq |f(x)|$ para cada $x\in (0,1)$ entonces f es la función cero.

He intentado aplicar distintas variaciones del teorema del valor medio, pero no he conseguido nada útil. También tengo que la derivada tiene un máximo y un mínimo (basado en el dominio compacto y la condición de desigualdad). ¿Qué me falta aquí para conseguir que $f=0$ ?

Answer 1

Denotar por $M$ cantidad $\max_{t\in [0,1]}|f(t)|$. Utilizando el valor medio teorema obtenemos $x\in (0,1)$, $$|f(x)|\leqslant x M.$$ Podemos probar por inducción que $|f(x)|\leqslant x^nM$ por cada $x\in (0,1)$. De hecho, es cierto para $n=1$, y si es verdad para $n$, luego por el valor medio teorema, $$f(x)=f'(c)x $$ para algunos $c\in (0,x)$, por lo tanto $|f(x)|\leqslant x|f'(c)|\leqslant x|f(c)|$. Usando la hipótesis de inducción, obtenemos $|f(x)|\leqslant xc^nM\leqslant x^{n+1}M$.

Desde $x^n\to 0$ $n$ va al infinito, se obtiene la quería conclusión.

Answer 2

$$ |f(x)|=\Bigl|\int_0^xf'(t)\,dt\Bigr|\le\int_0^x|f'(t)|\,dt\le\int_0^x|f(t)|\,dt. $$ Sea $g(x)=\int_0^x|f(t)|\,dt$ . Entonces $$ g(x)\ge0,\quad g(0)=0,\quad g'(x)-g(x)\le0. $$ Multiplicando la última desigualdad por $e^{-x}$ obtenemos $$ \bigl(e^{-x}g(x)\bigr)'\le0\implies e^{-x}g(x)\le g(0)=0. $$

En realidad, se trata de un caso particular del lema de Gronwall.