Una urna que contiene $r$ bolas rojas y $b$ bolas azules.

Question

Supongamos que una urna contiene $r$ bolas rojas y $b$ bolas azules. Supongamos que $n$ las bolas se extraen secuencialmente sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que $k$ de la $n$ bolas son azules y que la primera es azul.

Mi intento:

Dejemos que $A$ ser evento la primera bola es azul y $B$ ser evento $k$ de $n$ las bolas son azules. Quiero encontrar $P(A \cap B)$ . En total tenemos ${r+b \choose n }$ resultados en el espacio muestral. para el número de formas $A \cap B$ ocurre que tenemos primero es azul, y así tenemos $b-1$ bolas azules de ahí recogemos $k$ de ellos así que ${b - 1 \choose k}$ y para las bolas rojas tenemos ${r \choose n - k}$ . Por lo tanto,

$$ P(A \cap B) = \frac{ b {b - 1 \choose k} {r \choose n - k} }{{r+b \choose n } }. $$

¿Es esto correcto?

Answer 1

$$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$$ $$P(B)=\frac{\binom bk\binom r{n-k}}{\binom{r+b}n}$$ $$P(A|B)=\frac kn$$ Alternativamente $$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(A)=\frac b{r+b}$$ $$P(B|A)=\frac{\binom{b-1}{k-1}\binom r{n-k}}{\binom{r+b-1}{n-1}}$$

Answer 2

Se han dado un par de fórmulas alternativas; como se ha señalado en un comentario, la fórmula $$ P(A \cap B) \stackrel?= \frac{ b {b - 1 \choose k} {r \choose n - k} }{{r+b \choose n } }$$ da respuestas erróneas para algunos valores de la entrada.

Un fallo evidente de la fórmula es que el factor $\binom{b-1}{k}$ parece asumir que después de elegir la primera bola, que es azul, todavía tienes que elegir $k$ bolas de entre las restantes $b-1$ bolas azules, cuando en realidad sólo quieres $k-1$ de esas bolas. Así que podemos intentar ajustar la fórmula de la siguiente manera: $$ P(A \cap B) \stackrel?= \frac{ b {b - 1 \choose k-1} {r \choose n - k} }{{r+b \choose n } }.$$

Ahora el caso $r=0, b=3, n=k=1,$ la fórmula da la respuesta correcta, $1,$ donde la fórmula anterior da $2.$

Pero vamos a intentar $r=0, b=3, n=k=2.$ Ahora la fórmula revisada se evalúa como $2,$ lo cual es claramente erróneo.

Entonces, ¿cuál es el fallo de la segunda fórmula? El fallo viene de tu planteamiento original del problema. Para la primera bola asumiste que importaba que de las bolas azules llegó primero (que es como se obtuvo $b$ posibilidades para ese evento), pero para el resto de las bolas asumiste que no importaba qué bolas venían en qué orden (así que simplemente elegiste algún número de $b-1$ y algún número de $r$ ). Mientras tanto, en el denominador se supone que no importa en qué orden cualquier de las bolas ocurren, incluyendo la primera.

Si se tiene en cuenta el orden de las bolas en todos los casos, entonces en el denominador tienes $b$ formas de elegir la primera bola, $\binom{b-1}{k-1}(k-1)!$ formas de elegir el otro $k-1$ bolas azules, $\binom{r}{n-k}(n-k)!$ formas de elegir las bolas rojas, y $\binom{n-1}{k-1}$ formas de intercalar el último $n-1$ bolas rojas y azules. En el denominador tienes $\binom{r+b}{n}n!$ formas de elegir el $n$ bolas. El resultado es

$$ P(A \cap B) = \frac{ b {b - 1 \choose k-1} (k-1)! {r \choose n - k}(n-k)! \binom{n-1}{k-1}} {{r+b \choose n }n! } = \frac{ b {b - 1 \choose k-1} {r \choose n - k}} {{r+b \choose n }n },$$ lo que concuerda con las otras respuestas.