En primer lugar, uno debe recordar que $\textbf{Rel}$ es una alegoría y, en particular, de 2 categoría. Por tanto, hay una noción de contigüidad en $\textbf{Rel}$. Es tradicional para decir que un mapa en una alegoría es una de morfismos con un derecho adjuntos. Entonces, ¿qué hace esta noción nos dan en $\textbf{Rel}$? Bueno, supongamos $\phi : X \to Y$ tiene un derecho adjoint $\psi : Y \to X$. Eso significa que $\textrm{id}_X \le \psi \circ \phi$$\phi \circ \psi \le \textrm{id}_Y$. Así, para cada una de las $x$ existe $y$ tal que $\phi (x, y)$$\psi (y, x)$; y para cada una de las $x, y, y'$ si $\psi (y, x)$$\phi (x, y')$,$y = y'$. Podemos deducir así que $\phi$ es una total relación funcional, y por otra parte $\psi (y, x) \equiv \phi (x, y)$. Por lo que un mapa en $\textbf{Rel}$ es lo que esperamos: la relación inducida por una función.
De manera más general:
- $\phi : X \to Y$ representa una inyección si tiene derecho adjoint $\psi : Y \to X$ e $\psi \circ \phi = \textrm{id}_X$.
- $\phi : X \to Y$ representa un surjection si tiene un derecho adjoint $\psi : Y \to X$ e $\phi \circ \psi = \textrm{id}_Y$.
- $\phi : X \to Y$ representa una función parcial si $\phi \circ \phi^{\circ} \le \textrm{id}_Y$.
- $\phi : X \to Y$ que representa un total relación si $\textrm{id}_X \le \phi^{\circ} \circ \phi$.
