productos y morfismos suaves/estéticos/no ramificados

Question

Dejemos que $X$ , $Y$ y $Z$ sean esquemas noetherianos.

Si $f: Y \to X$ y $g: Z \to X$ son morfismos de tipo finito, tales que en cada punto de $X$ al menos uno de los dos morfismos es suave/étalo/no ramificado (en todos los puntos de su imagen inversa), podemos concluir que el morfismo inducido $Y \times_X Z \to X$ ¿es suave/étala/no ramificada en todas partes?

Si no, ¿qué resultados podemos obtener?

(En su libro de texto sobre Geometría Algebraica, Liu pide que se demuestre que la respuesta es siempre "sí"...)

EDITAR. Así que, efectivamente, el enunciado del problema en el libro es erróneo...

Answer 1

No. Como ejemplo extremo, supongamos que $g$ es la identidad (que es etale en todas partes), y que $f$ no es etale en algún momento. Entonces el producto de la fibra es sólo $f$ de nuevo.

Pero de hecho, este es esencialmente el caso general. Si $g$ es etale (o suave) en un punto, entonces es etale (resp. suave) en un n.h. de ese punto, por lo que podemos sustituir $Z$ por el h.n. y así suponer que $g$ es etale en todas partes. Entonces, si $f$ no es etale (o suave) en un punto $y \in Y$ el producto no será etale en un n.h. de $y \times Z.$

(Imagina que $Y$ era, por ejemplo, una curva nodal con un nodo en $y$ y que $Z$ es una curva curva suave. (Aquí $X$ es Spec del campo de tierra). Entonces $Y\times Z$ es el producto de una curva nodal y una curva suave, que sólo parece un cilindro sobre la curva nodal; es singular a lo largo del "cilindro" sobre el nodo).

Answer 2

Una afirmación correcta sería : Supongamos que Y es unramificado/étalo/suave sobre X, entonces $Y\times_X Z\to X$ es no-ramificado/étalo/suave si $Z\to X$ es.

[EDITADO] Según el comentario de Matt más abajo, debemos suponer $Y\to X$ surjective.

Answer 3

Los morfismos suaves, no ramificados y etale son estables bajo el cambio de base, por lo que $Y\times_X Z \to Z$ es {suave, no ramificado, etale} si $Y\to X$ es {suave, no ramificado, etale}.