Determinar todos los $m,n \in \mathbb{N}$ tal que $(5^m-1,5^n+1)=2$

Question

Determinar todos los $m,n \in \mathbb{N}$ tal que $(5^m-1,5^n+1)=2$

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Primer intento:

Decir $d= (5^m-1,5^n+1)$,$d|5^m-1$$d|5^n+1$$d|5^m+5^n$.

Si $m=n$ $d|2$ $d=2$ desde $5^m-1$ $5^n+1$ son ambos impares.

Si $m>n$$d|5^n(5^{m-n}+1)$. Desde $5\not|d$ tenemos por el lema de Euclides $d|5^{m-n}+1$ y ahora qué?

Segundo intento

Notamos si $m=2n$ $$5^m-1 = (5^n-1)(5^n+1)$$ so $(5^m-1,5^n+1)=5^n+1$. Lo mismo es cierto si $m= kn$, $k$ incluso. Tal vez por eso es razonable creer que si $m\ne kn$, $k$ incluso, a continuación,$d=2$. Pero no estoy seguro.

Answer 1

Numérico experimentos sugieren los siguientes: $m$ es cualquier número y $n$ es cualquier número divisible por el mismo o mayor potencia máxima de $2$ $m$ . Es decir, si $m$ es impar, entonces $n$ es cualquier número; si $m$ es divisible por 2, pero no por 4, $n$ es cualquier número, y así sucesivamente.

Por qué tendría que ser verdad?

Así, la necesidad de la condición es obvia: si $n=2^k\cdot l,\;2\nmid l$, pero $2\mid{m\over2^k}$,$2^{2^k}+1|2^n+1$, pero al mismo tiempo $2^{2^k}+1|2^{2^{k+1}}-1\mid2^m-1$.

Ahora, hasta el punto de autosuficiencia. Supongo que mi condición no se cumple. Al parecer, si $m\leqslant n$, luego $$\gcd(5^m-1,5^n+1)=\gcd(5^m-1,5^n+1-5^{n-m}(5^m-1))=\\=\gcd(5^m-1,5^{n-m}+1)\tag1$$ Por otro lado, si $m\geqslant2n$, luego $$\gcd(5^m-1,5^n+1)=\gcd(5^m-1-5^{m-2n}(5^n+1)(5^n-1),5^n+1)=\\=\gcd(5^{m-2n}-1,5^n+1)\tag2$$

Esto es casi como el algoritmo de Euclides, sólo que cojea de una pierna, por lo tanto lo podemos llamar cojo el algoritmo de Euclides. Debido a eso, no nos llevarían todo el camino hacia abajo: te quedas atascado en algún punto donde $n<m<2n$. A continuación, nuestros cojo Euclides necesitará muletas para saltar por encima de este hoyo: $$\gcd(5^m-1,5^n+1)=\gcd(5^m-1-5^{m n}(5^n+1),5^n+1)=\\ =\gcd(5^{m n}+1,5^n+1)=\gcd(5^{m n}+1,5^n+1-5^{2n-m}(5^{m n}+1)=\\ =\gcd(5^{m n}+1,5^{2n-m}-1)\tag3$$

Ver eso? $2n-m$ (que es divisible por la misma potencia máxima de 2 $m$) toma el papel de $m$, mientras que $m-n$ (que es divisible por el mismo o tal vez mayor potencia de 2) toma el papel de $n$. Así que tenemos más abajo y la condición es que aún se cumplan, por lo tanto podemos continuar.

¿Cómo va todo esto? Bueno, podría haber terminado en el paso 2 con $m-2n=0$ y no trivial de la mcd de a $5^n+1$, pero es imposible a causa de la condición. Lo que queda es $n-m=0$ en el paso 1, el cual se produce el deseado $\gcd=2$.

P. e.d.