Estrategias para denest anidada radicales.

Question

Recientemente he leído algún pasaje sobre anidada radicales, estoy profundamente impresionado por ellos. Simple anidada radicales $\sqrt{2+\sqrt{2}}$,$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ que el posterior puede ser denested en $1-\sqrt{2}$. Esto puede ser capaz de ver fácilmente, pero ¿cómo podemos denest tan complicado $\sqrt{61-24\sqrt{5}}(=4-3\sqrt{5})$? Y hay alguna manera de juzgar si un radical en $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ formulario puede ser denested?

El señor Srinivasa Ramanujan incluso sugirió que algunos LOCOS anidada radicales, tales como: $$\sqrt[3]{\sqrt{2}-1},\sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}},\sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}, \sqrt[3]{\cos{\frac{2\pi}{7}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{4\pi}{7}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{8\pi}{7}}},\sqrt[6]{7\sqrt[3]{20}-19},...$$ Increíble, todos estos pueden ser denested. Yo creo que deben haber algunas estrategias para denest ellos, pero no sé cómo.

Soy un principiante, puede alguien darme algunas ideas? Gracias.

Answer 1

Existen en general el almacenaje de los algoritmos que emplean la teoría de Galois, pero para el caso sencillo de la cuadrática algebraica de los números de uno puede emplear una regla simple que descubrí cuando era un adolescente.

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Simple Almacenaje Regla De $\rm\ \ \ \color{blue}{subtract\ out}\ \sqrt{norm}\:,\ \ then\ \ \color{brown}{divide\ out}\ \sqrt{trace}$

Recuerdan $\rm\: w = a + b\sqrt{n}\:$ norma $\rm =\: w\:\cdot\: w' = (a + b\sqrt{n})\ \cdot\: (a - b\sqrt{n})\ =\: a^2 - n\: b^2$

y, además, $\rm\:w\:$ seguimiento $\rm\: =\: w+w' = (a + b\sqrt{n}) + (a - b\sqrt{n})\: =\: 2\:a$

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Aquí $\:61-24\sqrt{5}\:$ norma $= 29^2.\:$ $\rm\ \: \color{blue}{subtracting\ out}\ \sqrt{norm}\ = 29\ $ rendimientos $\ 32-24\sqrt{5}\:$

y esto ha $\rm\ \sqrt{trace}\: =\: 8,\ \ thus,\ \ \ \color{brown}{dividing\ it\ out}\ $ de este rendimientos de la sqrt: $\:\pm (4-3\sqrt{5}).$

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Para muchos más ejemplos ver mis anteriores posts en el almacenaje.

Answer 2

(Voy a suponer $b$ no es un cuadrado, ya que de lo contrario no sería un anidada radical.)

De un entramado radical puede ser denested si y sólo si no existe $u,v\in\mathbb{N}$ de manera tal que el anidado radical de la forma$\sqrt{u^2+v\pm2u\sqrt{v}}$, en cuyo caso también es igual a $|u\pm\sqrt{v}|$.

No es difícil mostrar que esas expresiones son iguales, lo que significa que todas las radicales de que forma puede ser, de hecho, denested.

De la otra manera, vamos a considerar el siguiente igualdad, donde la $a,b,c,d,e\in\mathbb{N}$: $$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=c\pm d\sqrt{e}$$ (Tenga en cuenta que también podemos escribir por ejemplo,$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, en la forma como $\sqrt{3-\sqrt{8}}$) Si tenemos la plaza de los dos lados, obtenemos: $$a\pm\sqrt{b}=c^2+ed^2\pm2cd\sqrt{e}$$ Esto sugiere que los recogemos $u=c$$v=ed^2$. A continuación, $a\pm\sqrt{b}=u^2+v\pm2u\sqrt{v}$ como se reivindica.

Este no es el final de la historia ya que, preferiblemente, también nos gustaría saber que $a$ corresponde de hecho a $u^2+v$$b$$4u^2v$, es decir que no puede haber dos iguales anidada radicales de diferentes formas. Dependiendo de qué tan profundo quieres ir, puedes tomar para concedido por ahora o se observa que el $a\pm\sqrt{b}$ satisface el polinomio de relaciones $(x-a)^2-b=0$ $(x-u^2-v)^2-4u^2v=0$ y se sigue de que los dos polinomios debe ser igual (utilizando, por ejemplo, el concepto de un mínimo de polinomios o explícitamente dividiendo el uno por el otro con el resto teniendo en cuenta que el $a\pm\sqrt{b}$ va a satisfacer no hay relación lineal) que nos da nuestra correspondencia.