¿Cuál es la correcta interpretación de los axiomas de extensionality

Question

Un conjunto $a$ puede ser llamado extensional si tiene las siguientes propery: $$\forall b\left[\forall x\left[x\in b\iff x\in a\right]\Rightarrow a=b\right]$$ Sobre esta base, el axioma de extensionality puede ser formulado como: $$\forall a\left[a\text{ is extensional}\right]$$

Exactamente cómo se debe este axioma ser interpretado?

Veo dos opciones:

1) La declaración de que cada conjunto es extensional.

2) La instrucción que establece que no son extensional se deben descuidar.

La primera se parece a una declaración de un dictador. El segundo más como una admisión de que hay más, pero los que estamos de acuerdo en que mantener fuera de la vista. Si la instrucción 2) podría ser practicized entonces yo optaría por hacerlo, pero tengo mis dudas acerca de eso, que es la razón para hacer esta.

anexo

Inspirado por los comentarios y respuestas (muchas gracias!) He decidido para compartir algo acerca de mi motivación y también mis dudas acerca de la opción 2).

Un conjunto $a$ es regular si tiene la siguiente propiedad: $$\forall b\left[a\in b\Rightarrow\exists c\in b\; c\cap b=\emptyset\right]$$ Based on that the axiom of regularity can be formulated as: $$\forall b\left[b\text{ is regular}\right]$$ Este axioma puede ser aceptado en la conciencia de que usted acaba de restringir su alcance y enfoque en el estudio de las normales. Se podría decir que opción 2) aquí 'funciona'. Si $\mathbf{V}$ denota la clase de todos los extensional establece a continuación, hay una subclase $\mathbf{G}$ de regular extensionals. Opción 1) se aplica en asiduos dice: $\mathbf{V}=\mathbf{G}$ mientras que la opción 2) dice: centrarse en $\mathbf{G}$. Aquí prefiero la segunda opción. Esto es facilitado por el hecho de que los elementos de regular los conjuntos regulares, lo que significa que al centrarse en clientes habituales sus elementos no salir de la vista. Cabe subrayar aquí que usted necesita axiomas PAR y SUMA para probar esto. Esta facilitación carece (o parece falta; uptil ahora yo estaba buscando en vano) cuando se trata de extensionals, que fue el motivo de mi duda con respecto a la segunda opción se aplica sobre extensionals.

Answer 1

1) es correcta. Hay cosas que no son extensional, pero en una teoría que acepta el axioma de extensionality, esas cosas no son llamados "conjuntos".

No se trata de "una declaración de un dictador", lo que significa que, esta es la forma en que funciona el lenguaje: cada término en cada idioma tiene una definición, que describe lo que significa el término y lo que no quiere decir. De la misma manera que un elefante no es un insecto, algo que no es extensional no es un conjunto.

Answer 2

Se debe interpretar que la primera forma. Axiomas de los sistemas formales son para ser satisfecha sin explicación. Un modelo que crea un sistema formal debe satisfacer los axiomas del sistema formal.

Por lo tanto, cualquier modelo de ZF no tiene un sistema que no es extensional, que son no sólo "no se considera'. Me refiero a que no puede ser descuidado porque no extensional conjuntos no existen en un modelo de ZF.

Answer 3

Para agregar a las otras respuestas:

(1) dice que cada conjunto el cuantificador rangos es extensional, que se detenga por completo. No hay espacio en cualquier modelo de extensionality para no extensional de los objetos. Pero al mismo tiempo existen otras teorías de que ZF es una subteoría, o en el que ZF es interpretable, incluyendo algunos con propiedades muy diferentes (algunas fuertes extensiones de NFU, Esser positiva de la teoría de conjuntos).

La pregunta, y es filosófica, es si a pensar en algunas de estas otras teorías como el hecho de axiomatizing una teoría de conjuntos. NFU+Opción no satisfacer extensionality, pero generalmente se interpreta como una teoría de los conjuntos y otras cosas; las cosas que se establece en la teoría se caracterizan precisamente por extensionality. Como extensionality es una parte importante de muchas de las intuiciones de la gente acerca de los conjuntos, usted tendría que hacer un caso de desviación.

Answer 4

Creo que puede ser útil para iniciar el debate acerca de extensionality en la matemática moderna y la lógica, que se remonta a Cantor y Frege y sus investigaciones acerca de las clases y de las extensiones.

Se puede empezar con la (muy simplificado) de la imagen de un concepto o "universal", podemos simbolizar como $\phi(x)$, y su extensión, que se define como el conjunto de objetos que $\phi$ tiene de ellos, se simbolizan como $\{ x : \phi(x) \}$.

Tras el descubrimiento de las paradojas de Cantor de la teoría de conjuntos (con la Comprensión axioma : para cada "condición" $\phi(x)$, existe la correspondiente extensión de $\{ x : \phi(x) \}$) y de la lógica de Frege (con la Ley Básica de la V), varios intentos fue explorado para resolverlos.

Uno de los más relevantes intento fue debido a Russell, en sus Principios y, a continuación, en los Principia.

La idea básica era evitar el "lenguaje de las clases (o conjunto)" y adoptar el lenguaje de la "proposicional funciones"; pensar en ellos como "atributos", y asume por simplicidad que corresponden a abrir la fórmula (es decir, a $\phi(x)$).

Según Russell, proposicional funciones son primitivas, y las clases o conjuntos se reduce a "abreviaturas" .

El siguiente comentario por el lógico y filósofo Quine (Whitehead y el Surgimiento de la Moderna Lógicade 1941, reimpreso en el Seleccionado de la Lógica de Papeles, nueva edición de 1995, página 22) es una buena aclaración de la cuestión :

Se han reducido las clases, los atributos de poco filosófico consecuencia, para los atributos no son menos universal, abstracto, intangible, de las mismas clases.

[...] las clases se identifican cuando coinciden en el punto de miembros, mientras que puede ser considerado que los atributos que diferencian a veces a pesar de que son atributos de la misma de las cosas. Es precisamente esta diferencia, de hecho, y nada más que Russell contextual de la definición de las clases de capacidad; la suya es una técnica de construcción que nos permite hablar aparentemente idénticas de clases por medio de la abreviatura de un discurso sobre el coincidentes, pero tal vez no idénticos atributos.

Esta definición descansa la más clara en el obscurer, y el más económico en el menos. Las clases son más económicos que los atributos, ya que son más escasos: se unen cuando sus miembros son los mismos. [énfasis añadido] Clases son más claras, a continuación, atributos, ya que tienen una relativamente definida principio de individuación: diferentes el uno del otro sólo en caso de que sus miembros se diferencian, mientras que los atributos (si difieren de clases en todos) diferir de uno a otro también bajo otras circunstancias cuya naturaleza es la de la izquierda, en Principia, bastante indeterminado. [...]

En cualquier caso, no hay atributos específicos que pueden ser probadas en Principia a ser cierto de la misma de las cosas y, sin embargo, difieren el uno del otro.

Debido también a que el éxito inmediato de Zermelo del conjunto axiomático de la teoría como una teoría matemática, en comparación con la solución desarrollada en los Principia (la teoría ramificada de tipos), el "más claro y económica" de la concepción de conjunto como "extensional" se ha convertido, desde el comienzo del siglo pasado, la "visión tradicional" acerca de las clases o de conjunto.

En conclusión, en referencia a la Malicia Vidrine la respuesta, creo que es perfectamente posible pensar en la "abandono" nuestras "intuiciones acerca de los conjuntos": de un lado, tenemos un montón de interesantes resultados basados en extensional teoría de conjuntos; forma del otro lado, necesitamos el apoyo de "un caso de desviación de él".

Answer 5

Algo bueno me enteré de la Wikipedia es que, incluso en la lógica de los sistemas que no tienen una predicados de igualdad integrada, es posible expresar el axioma de extensionality como

$$\forall a,b: (\forall x: x \in a \iff x \in b) \iff (\forall y: a \in y \iff b \in y), \tag1\label{ik-eqn:1}$$

o, en las palabras: "si $a$ $b$ tienen todos el mismo número de miembros, que pertenecen todos a la misma establece."

(En la teoría de conjuntos ZF, al menos, sólo el avance implicación realmente se necesita para ser dado como un axioma, ya que la inversa de la siguiente manera a partir de los otros axiomas. Sin embargo, si no te importa un leve redundancia en sus axiomas, yo prefiero que se incluyen tanto las implicaciones en la fórmula para resaltar su simetría.)

La cosa agradable sobre la declaración de $\eqref{ik-eqn:1}$ es que los dos lados de ella se puede ver como las dos mitades de una definición de igualdad. Es decir, se puede volver a escribir como

$$\forall a,b: a \overset R\sim b \iff a \overset L\sim b \tag2\label{ik-eqn:2}$$

donde se definen los predicados $\overset L\sim$ $\overset R\sim$ como fórmula para

• $a \overset L\sim b \overset{def}\iff (\forall y: a \in y \iff b \in y)$, es decir, "$a$$b$ son sustituibles a la izquierda de $\in$ " y

• $a \overset R\sim b \overset{def}\iff (\forall x: x \in a \iff x \in b)$, es decir, "$a$$b$ son sustituibles a la derecha de $\in$."

Es fácil ver que estas dos son las relaciones de equivalencia, y que cualquiera de los dos conjuntos $a$, $b$ que satisfacer tanto $a \overset L\sim b$ $a \overset R\sim b$ en el hecho de satisfacer plenamente a la sustitución de la propiedad de la igualdad con respecto a $\in$, y por lo tanto son indistinguibles por cualquier conjunto de la teoría de la fórmula (es decir, una fórmula que puede ser expresado usando sólo $\in$ y lógica de los símbolos).

El pleno del axioma $\eqref{ik-eqn:2}$, a continuación, simplemente afirma que cualquiera de estas definiciones de "la mitad de la igualdad" es, de hecho, equivalente a la de los otros (y por lo tanto a la plena igualdad, en el sentido de indistinguishability por el conjunto de la teoría de fórmulas): si $a$ $b$ pueden intercambiarse libremente en el lado derecho de la $\in$, entonces también puede intercambiarse libremente en el lado izquierdo de la misma.

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Así que, ¿cómo se relaciona esto con tu pregunta original, entonces?

En términos más simples, la interpretación de extensionality he dado arriba cae bajo su interpretación #1: la afirmación de que $\overset L\sim$ $\overset R\sim$ son equivalentes es esencialmente el mismo que afirmar que todos los conjuntos son extensional.

Lo que me parece bueno de esta interpretación, sin embargo, es que, al no requerir ninguna igualdad fundamental de predicado, esto deja de lado cualquier posible "metafísica" de cuestiones relacionadas con el mismo. Simplemente, tenemos la definición de una relación de equivalencia $a \sim b \iff a \overset L\sim b \land a \overset R\sim b$, y un axioma añadió que, de hecho, $a \overset L\sim b \iff a \overset R\sim b \iff a \sim b$.

Puede ser útil para contrastar esta opinión con user18921 la "interpretación #3", que afirma que el axioma de extensionality es en sí misma una definición de conjunto de equivalencia en materia de igualdad. En un sentido, estos puntos de vista son el mismo: si tomamos $\overset R\sim$ como la definición de conjunto de la igualdad, y afirman que establece la igualdad en virtud de esta definición son de libre sustituibles, como en la Malicia Vidrine del comentario, entonces podemos obtener un extensional teoría de conjuntos.

Por otro lado, lo que realmente estoy diciendo es que hay dos naturales definiciones de establecer la equivalencia con respecto a $\in$, $\overset L\sim$ y $\overset R\sim$, que en conjunto implican indistinguishability mediante set-fórmulas teóricas. Visto de esta manera, el axioma de extensionality hace un sustantivo, no de definición afirmación: se afirma que estas dos relaciones son, de hecho, el mismo, y por lo tanto que cualquier conjuntos equivalentes en virtud de cualquiera de ellos son indistinguibles.