Cómo partición de R^3 en pares de líneas no paralelas?

Question

Problema. Cómo partición de R^3 en pares de líneas no paralelas?

Una posible solución es la pila de infinidad de `concéntricos" hyperboloids, aumentando la radio y la disminución de la pendiente. Y no olvides la línea de la $z$ eje en el centro. El prototipo hyperboloid se parece a esto.

Escuché una charla a la que yo no entendía mucho, una solución se da el uso de hopf fibration. Yo no estoy familiarizado con estos conceptos, y al final fue como `Tadaa! Y aquí está nuestra partición!". El orador no podía describir lo que la partición se parece.

Yo estaría muy contento de que: (1) entender las matemáticas que él hizo (artículo, libro?), (2) véase lo que su solución se parece, y (3) conocer qué tipo de soluciones existen.

Gracias de antemano!

Answer 1

En primer lugar, no estoy seguro de que el Hopf-fibration basado en la solución, sea cual sea, es necesariamente diferente de la concéntricos hyperboloid que usted describe. El Hopf fibration contiene hyperboloids en abundancia, cuando se miró en varias maneras, aunque, por supuesto, no sé si esto es realmente relevante, ya que no estoy seguro de cuál es la específica de la construcción es que el hablante utiliza para crear una partición de la fibration.

El Hopf fibration en sí es un increíble mapa de los S^3 a S^2 (la tercera dimensión y dos dimensiones, esferas, respectivamente). La inversa de la imagen de cada punto de S^2 es un círculo. Por lo tanto, si usted piensa de S^3 como el R^3 con un punto usando el estándar de la proyección estereográfica, las fibras (=inversa de imágenes de puntos) son todos los círculos excepto por un círculo, el que pasa a través del "polo norte" de la proyección, que se convierte en una línea recta.

Podría ser el caso en que por la variación en el polo norte, esas líneas rectas forman una partición del tipo que se describe (usted necesitará para evitar el doble conteo de líneas procedentes de antipodic puntos en S^3, pero de lo contrario, esas líneas son distintas). Esto es sólo una conjetura realmente.

[Nota: esta no es una respuesta completa a la pregunta, pero es realmente difícil empacar un par de párrafos con enlaces como en un comentario, por lo que tienden a preferir la "Respuesta" formato - si mo-la etiqueta dicta lo contrario, sólo házmelo saber!]

Answer 2

Hay una solución usando el axioma de elección, similares a este. Enumerar los puntos del espacio como $\{p_\alpha:\alpha<\phi\}$ donde $\phi$ es el menor ordinal de cardinalidad del continuo. Esto significa que tenemos una orden de $\mathbb{R}^3$ de manera tal que cada elemento está precedido por menos de continuidad de muchos elementos. Vamos a elegir, por recursión transfinita en $\alpha$, una línea de $L_\alpha$ o $p_\alpha$ tal de que estas líneas no son paralelas y cubrir el espacio. De hecho, para algunas de las $\alpha$ no elegimos $L_\alpha$.

Supongamos que hemos hecho las opciones para todos los $\beta<\alpha$ y tenemos que tratar a $p_\alpha$. Nosotros no hacemos nada, si algunos de los primeros a $L_\beta$ cubre $p_\alpha$. De lo contrario, dibujar una esfera $S$$p_\alpha$. Tenemos que seleccionar una línea de $L_\alpha$ o $p_\alpha$ y este es el mismo que para elegir un punto de $S$. Esos puntos son descalificados, que dan lugar a líneas paralelas a algunas de las líneas anteriores, esto le da un conjunto de menos de continuo puntos en $S$. Además, para cualquier línea $L_\beta$ ($\beta<\alpha$) no podemos elegir cualquier línea que interseca $L_\beta$. Las instrucciones correspondientes a estas malas decisiones formar un gran círculo en $S$. Tenemos, por tanto, una colección de menos de continuidad de muchos puntos y grandes círculos en $S$. Un sencillo argumento muestra que no se pueden cubrir $S$ [elegir un gran círculo de $C$ diferente de ellos, y luego la pintas/grandes círculos puede cubrir en más de dos puntos de $C$ cada uno], por lo que puede hacer la elección de la diection de $L_\alpha$.

Answer 3

Tomar el complejo de líneas en ℂ², y se cruzan con una copia de ℝ³ no contiene el origen. Esto le da una foliación de ℝ³ por líneas, que es la proyección (desde el origen) de la Hopf fibration de la unidad de la esfera en ℂ² (que es la foliación de S³ por intersecciones complejas líneas).

Uno podría fácilmente escribir esto en coordenadas, pensando en ℝ³ =ℝ x ℂ =(1+ iℝ) x ℂ ⊂ ℂ². A continuación, para z ∈ ℂ, la línea está dada por (t, (1+y) z), t ∈ ℝ. Cuando z=0, se obtiene un eje vertical. Para |z|=r, se obtiene un hyperboloid que se obtiene por la rotación de la línea a través de (0,r) sobre el eje. Creo que esta es probablemente la foliación por las líneas descritas en la charla a la que asistió.

Otra observación es que desde que usted está interesado en las particiones en lugar de foliaciones, en cada hyperboloid hay dos foliaciones por líneas (que son imágenes especulares). Así que usted puede "voltear" la foliación en cada una de las hyperboloid de forma independiente para obtener uncountably (en realidad 2^|ℝ|) muchas particiones de ℝ³ en líneas no paralelas.

Answer 4

La serie de videos "Dimensiones"... http://www.dimensions-math.org/

[Disponible para bajar gratis, ver en línea o comprar en DVD.]

Los episodios 7 y 8 en fibrations contienen gráficos por ordenador destinado a ayudar en la visualización de tales cosas.