Secuencia en la que la suma de las cifras de todos los números es 7

Question

BdMO 2014

Definimos una secuencia que comienza por $a_1=7,a_2=16,\ldots,\,$ tal que la suma de dígitos de todos los números de la secuencia es $7$ y si $m>n$ entonces $a_m>a_n$ es decir, todos esos números están ordenados de forma ascendente. Si $a_k=2014$ encuentra $a_{\frac{k}{2}+3}$ .

Llamemos 'buenos' a los números de la secuencia.Entonces hay 1 número bueno de una cifra,7 números buenos de dos cifras,28 números buenos de tres cifras y (28 números buenos de cuatro cifras que empiezan por 1). Total $=64$ . Entonces 2014 es el número 66. Por lo tanto queremos $a_{36}$ . Observamos que hay 36 números buenos del 1 al 999. Así que el 36º número bueno es el mayor número bueno de 3 cifras, es decir, 700.

¿Existe una forma mejor? El método anterior es claramente una forma práctica de hacerlo, pero ¿existe una forma más inteligente?

Answer 1

DE ACUERDO. Podría inventar una forma mejor de enumerar el número de términos de la secuencia. Tal vez, usted también utilizó el mismo método.

Para hallar el número de términos que tienen menos de 4 dígitos, considere $x_1x_2x_3$ con la condición de que $x_1 + x_2 + x_3 = 7$ y $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0$ . Se trata de un problema de combinatoria estándar con un número de soluciones $= \binom{9}{7} = 36$

A continuación, debemos hallar el número de términos de 4 cifras cuyo primer dígito sea igual a $1$ . Por lo tanto, considere $1x_1x_2x_3$ con $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ y un análisis similar da el número de soluciones $= \binom{8}{6} = 28$ .

Entonces $2005$ resulta ser el $36 + 28 + 1 = 65$ y, por tanto $2014$ es el $66$ th. El resto es lo mismo que explica @rah4927.