Hallar la fórmula general de las potencias de una matriz

Question

Sea $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ . Halla la fórmula para $A^n$ y demuéstralo.

La forma en que intenté resolverlo es la siguiente:

Si encontramos $A^2$ , $A^3$ y así sucesivamente se dará cuenta de esta patern: Si $n$ es impar $A^n=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ . Si $n$ es par entonces $A^n=I$ .

Para demostrarlo he utilizado la inducción matemática. Vemos que el caso base es $A^1$ y $A^2$ . Supongamos ahora que la afirmación es válida para un número natural $n$ . Si $n+1$ es impar entonces esto significa que n es par y vemos que la matriz $A^{n+1}=A^nA=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ por lo que la afirmación se cumple en este caso. Si $n+1$ es par significa que $n$ es impar y vemos que la matriz $A^{n+1}=A^nA=I$ por lo que la afirmación también es válida en este caso. En consecuencia, la afirmación es válida para todos los números naturales.

Quiero saber si esta prueba es correcta o no. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esto parece absolutamente correcto. Otra forma de verlo es que la multiplicación de matrices corresponde a la composición de funciones. En concreto, se trata del mapa $T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ dada por $(x,y) \mapsto (y,x)$ que es una reflexión sobre la línea $y=x$ Así que $T \circ T=Id$ lo que a su vez implica que $T \circ \dots\circ T=T^{2n+1}=T \circ T^{2n}=T$ y $T^{2n}=Id$

Answer 2

Sí. Otro método consiste en diagonalizar la matriz (simétrica) $A$ $$ A = V D V^T $$ donde $D$ es la matriz diagonal de valores propios $(\pm1)$ y $V$ es la matriz formada a partir de los vectores propios de $A$

Entonces $$ A^n = V D^n V^T $$ por lo que depende de $$D^n=\left( \begin{array}{cc}1 &0 \\ 0& -1 \end{array} \right)^n$$

Una cosa clave es que para calcular una matriz diagonal a una potencia hay que elevar los elementos diagonales a esa potencia.

• Si n es par, entonces $D^n=I$ Así que $A^n=V I V^T = I $ debido a la ortogonalidad de $V$ .
• Si n es impar entonces $D^n=D$ Así que $A^n=V D V^T = A $