Inducción frente a números naturales

Question

$0$ es finito. Si $n$ es finito, es finito $n+1$. Por lo tanto, por inducción, todos los números son finitos. ¿Cuál es el truco?

Answer 1

Usted tiene que tener cuidado con la redacción de este tipo de pregunta. Hay más de un tipo de número. Generalmente, lo que se hace referencia es claro por el contexto, pero aquí no lo es. Números naturales (0,1,2,3,...,etc) son todos finitos, y el estándar de inducción sólo se aplica a estos.

Hay otros tipos de números, tales como los números cardinales y ordinales los números que puede ser infinito. El principio de inducción no se aplica a estos. Hay una extensión de inducción, llamada inducción transfinita. En la parte superior de mostrar que la propiedad deseada cumple para n+1 cada vez que se cumple para n, la inducción transfinita también implica que demuestra que la propiedad tiene en una limitación de sentido. La propiedad de un ser finito no sobrevivir a este límite, así que no hay problema con tener infinitos números ordinales.

Por lo general, cuando alguien dice número sin ser claro acerca de lo que se refiere a, que significan números naturales, números enteros, números reales, o, posiblemente, de los números complejos. En ese caso, no hay infinitos números.

Este no es el tipo de cosa que debería causar problemas en una seria discusión matemática, pero he visto esta ambigüedad crear confusión muchas veces antes en los foros de internet.

Answer 2

El Axioma del Infinito puede ser relevante para su comprensión, porque se refiere a la existencia de un conjunto infinito, que es también una infinita cardenal número. Sin ella, todos los conjuntos son finitos y equivalente a la de los números naturales, por la razón de que el estado (la inducción no es lo suficientemente potente). Comenzando con el Cantor del Teorema se puede construir aún más grandes cardenales por tomar el poder conjunto del conjunto infinito afirmó que existe el Axioma de Infinitud. También hay una técnica llamada inducción transfinita que se utiliza para demostrar las proposiciones acerca de los números ordinales y cardinales.

http://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction

Answer 3

Usted puede llamar a cada número natural finito (que es lo que la inducción se aplica a). Espere hasta que escuche acerca de estos, sin embargo.

EDIT: Como señala el comentario a la pregunta, los números naturales son colectivamente infinitos en número, si eso es lo que te refieres a.

Answer 4

Me voy a enfocar esto desde un ingenuo punto de vista de la teoría de conjuntos, ya que puede ser fácilmente traducido a otros contextos. Si definimos a cero a medida que el conjunto vacío, y n+1 (n)\union{n}, entonces nos vamos a los números naturales el conjunto de todos ellos (sí, tenemos un axioma para garantizar su existencia). En este caso se define un conjunto como finito iff se pueden poner en bijection con un elemento de los números naturales. La clave aquí es que 'finito' es tan definido que la afirmación de que los números naturales (es decir, los elementos de los números naturales) son finitos, es totalmente trivial. Por supuesto, esto es sólo hablar de la finitud de la perspectiva de cardinallity.

Desde la finitud se utiliza a menudo para referirse a otras propiedades, siendo 'finito' significa algo distinto y, a menudo no relacionados de forma lógica (por ejemplo, como en los puntos en un subespacio afín de un espacio proyectivo, como algo que se está acotado, o como seleccionar elementos de una estructura algebraica), esta pregunta podría ser mejorado mediante la especificación de lo que entendemos por 'finito'.

Answer 5

Una captura interesante aquí es que la Proposición "n es finito" no se puede expresar por un predicado unario "p ((n)" en lógica de primer orden. El primer esquema de inducción de orden (de los axiomas de Peano) sólo se aplica a predicados unarios en lógica de primer orden, por lo tanto, usted no puede probar que todo número natural es finito, por lo menos no con los axiomas de Peano de primer orden.