El género aritmético de las curvas no reducidas

Question

Dejemos que $(X,h)$ sea una variedad proyectiva suave, y sea $C\subset X$ sea una curva racional suave. Entonces $C$ tiene un género aritmético $0$ . (Que $p_a(C)=0$ no es importante, sólo para fijar ideas).

Pero si me interesan otras curvas en $X$ cuyo asociado $1$ -ciclo es $dC$ para algunos $d>1$ ¿Cómo calcular su género aritmético? En realidad, este problema se divide en dos preguntas:

1. Hacer todas las curvas $E\subset X$ con $1$ -ciclo es $dC$ comparten el mismo polinomio de Hilbert (y por lo tanto el mismo $p_a$ ), independientemente de la estructura del régimen?
2. Cómo calcular el género aritmético de una curva $E\subset X$ cuyo ciclo es $dC$ ?

Gracias.

Answer 1

Ciertamente, el género aritmético depende de la estructura del esquema, y no sólo el ciclo subyacente; véase el ejemplo de Hartshorne de dos líneas inclinadas en $\mathbb P^3$ que se reúnen en una familia plana (y que adquieren un punto incrustado) si se quiere una ilustración de esto. (O simplemente calcular el género aritmético del subesquema $XY = Y^2 = 0$ de $\mathbb P^2$ y compararlo con la aritmética género del subesquema reducido subyacente).

En particular, si $C$ no es un ciclo de codimensión uno (un divisor), entonces no estoy seguro que esta pregunta tenga tanta respuesta, la razón es que el género aritmético depende de que haya un subesquema real de $X$ (o si se quiere un punto del esquema de Hilbert de la variedad ambiente $X$ ), mientras que un ciclo es un dato menos.

Si $X$ es una superficie, por lo que $C$ es un divisor de Cartier, entonces podemos interpretar $dC$ como el $d$ potencia de este divisor de Cartier, y por lo tanto obtener una que varía en una familia plana si $C$ y, por lo tanto, para el que tiene sentido tiene sentido hablar del género aritmético. Como sugiere Cantlog en los comentarios el género aritmético vendrá dado por la fórmula de adición. En particular, la auto-intersección $C\cdot C$ desempeñará un papel.

Esto se puede ver comparando el caso de $X$ ser $\mathbb P^2$ frente al caso de $X$ siendo una superficie cuádrica lisa (es decir $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1$ ). En el primer caso, si tomamos $C$ sea una línea, entonces $2 C$ es la clase de equivalencia lineal clase de cónicas, cuyo género aritmético es de nuevo $0$ . Por otro lado, si tomamos $C$ para ser una de las líneas de una de las reglas de una cuádrica (es decir $C = \mathbb P^1 \times \text{ a point }$ ), entonces $2C$ es linealmente equivalente a la unión disjunta de dos líneas en la regla, y tiene un género aritmético igual a $-1$ (suponiendo que tenga bien el signo en la fórmula del género aritmético).

La cuestión es que las dos líneas que se cruzan (con es otro miembro de la clase de equivalencia lineal clase de equivalencia de $C$ en el primer caso) tiene un punto menos que dos líneas (el punto de cruce aparece sólo una vez en total en lugar de una vez en cada línea), por lo que $\chi(\mathcal O_C)$ es uno menos en el caso de cruce que en en el caso de separación, por lo que $p_a := 1 - \chi(\mathcal O_C)$ es uno más, es decir, es $0$ en el primer caso en lugar de $-1$ en el segundo caso.

Desde un punto de vista más formal: la fórmula de adjunción dice que $2 p_a - 2 = K_X \cdot C + C \cdot C,$ y
esto no es lineal en $C$ por ejemplo, se encuentra que el género aritmético $p_a(2 C)$ es igual a $2p_a(C) - 1 + C \cdot C$ .

Answer 2

Creo que, en general, lo que usted desea no es posible. El ejemplo de las líneas dobles en $\mathbb P^3$ trabajaron en Eisenbud y Harris's La geometría de los esquemas , p. 136-8. (Creo que he oído que se denominan "cintas").

Todas estas líneas dobles deben tener la clase de ciclo $2[C]$ , donde $C$ es la línea subyacente $V_+(x-y)$ . Sin embargo, la doble línea definida por $X_d = \operatorname{Proj}\left(k[x,y,z,w]/ (x^2,xy,y^2,z^dx-w^dy)\right)$ , $d\ge 0,$ tiene un género aritmético $p_a(X_d) = -d$ , demostrando que cualquier género $\le 0$ es posible en este caso de curvas $E$ Satisfaciendo a $[E] = 2[C]$ .