Álgebras de Kac-Moody en la teoría dimensional de Kaluza-Klein

Question

Estoy tratando de hacer sentido a la cuestión de ¿cómo funciona el Kac-Moody álgebra codificar las simetrías de la no-truncada en la teoría.

Vamos a contextualizar un poco. Ok, así que en una de las 5 dimensiones de Kaluza-Klein empezamos con puro (5 dimensiones) de la gravedad. A continuación, suponemos un $M_4×S^1$ el estado del suelo donde tenemos espacio de Minkowski con un círculo. La topología de este estado del suelo se rompe la 5D diffeomorphism invariancia porque ahora sólo periódico transformaciones están permitidos. Así que considerando un cambio de coordenadas

$$x\to{}x'=x+\xi,$$

podemos Fourier ampliar

$$\xi(x,\theta)=\sum{}\xi(x)e^{in\theta}.$$

Es sabido que si queremos truncar en $n=0$ obtenemos una teoría de la gravitación en 4 dimensiones espacio-tiempo, el electromagnetismo y un campo escalar (a veces llamado el Dilaton).

Así, los restos de la inicial de 5 dimensiones diffeo invariancia son 4 dimensinal diffeo invariancia, $U(1)$ medidor y una escala de invariancia de la dilaton.

En el no trunca la teoría que vamos a mantener todos los modos en la anterior expansión de Fourier y vamos a tener más de simetrías. El 4d diffeo y $U(1)$ indicador sobreviven en la no versión truncada, pero no la invariancia de escala de la dilaton.

Hasta ahora tan bueno.

Pero, ¿cómo saber que las simetrías de toda la teoría? así, con Kac-Moody generalización de las álgebras de Poincaré. Por ejemplo, en http://arxiv.org/abs/hep-th/9410046 dice esto. Pero, ¿CÓMO exactamente? Me gustaría una explicación clara de cómo este Kac-Moody álgebra codifica el remanente simetrías de la original diffeo 5 y también cómo el cero modos de esta álgebra corresponden a diffeo4 y $U(1)$

EDIT:: este es el álgebra de que estoy hablando

$[P_{\mu}^{(n)},P_{\nu}^{(m)}]=0$

$[M_{\mu\nu}^{(m)},P_{\lambda}^{(n)}]=i(\eta_{\lambda\nu}P_{\mu}^{(m+n)}-\eta_{\lambda\mu}P_{\nu}^{(m+n)})$

$[M_{\mu\nu}^{(n)},M_{\rho\sigma}^{(m)}]=i(\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma}^{(m+n)}+\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho}^{(m+n)}-\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma}^{(m+n)}-\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho}^{(m+n)})$

$[Q^{(n)},Q^{(m)}]=(n-m)Q^{(n+m)}$

$[Q^{(n)},P^{(m)}_{\mu}]=-mP^{(n+m)}_{\mu}$

$[Q^{(n)},M^{(m)}_{\mu\nu}]=-mM^{(n+m)}_{\mu\nu}$

Answer 1

Como la formulación de su pregunta deja claro, sabemos lo que el real álgebra de local simetrías. Es la cinco-dimensional diffeomorphism invariancia suponiendo que el $M^4\times S^1$ topología de las cinco dimensiones de espacio-tiempo.

El término "Kač-Moody generalización de un álgebra" no es nada más que un nombre alternativo para esta álgebra, especialmente para la forma del álgebra que se obtiene al considerar no como generadores de funciones continuas de la quinta coordinar $\theta$, pero el uso de la discreta de Fourier modos en esta dirección etiquetados por $n$.

El original, Kač-Moody-no generalizada álgebra tiene los conmutadores de los generadores como $$ [G_i,G_j] = f_{ijk} G_k $$ con el correctamente planteado índices. En su caso, todos los $G_i$ son combinaciones lineales de los generadores de diffeomorphisms, es decir, las integrales de la tensión de la energía tensor con algunos tensor de valores de los coeficientes como funciones de la 4D espacio-tiempo.

El Kač-Moody generalización surge cuando todos los generadores están permitidos dependen de la extra coordinar $\theta$ o, de manera equivalente, a depender de la transformada de Fourier modo de índice entero $n$. A continuación, la generalización reemplaza $G_i$ $G^n_i$ y el colector se convierte en algo parecido $$ [G_i^m,G_j^n] = (\pm m \pm n)^{\text{0 or 1}} f_{ijk} G_k^{m+n} $$ También puede ser $n^3$ términos ponderados por $\delta_{m,-n}$ etc. pero no quiero presentar a todos los posibles matices y generalizaciones de Kač-Moody álgebras de aquí.

La aparición de $m+n$ como el superíndice en el lado derecho está garantizado por la $\theta\to \theta+c$ simetría traslacional, el $U(1)$ indicador subalgebra que usted ha mencionado. De lo contrario, no es sorprendente que debemos obtener un similar álgebra a la original 4D, sólo con algunas índices de $m,n,m+n$ moderadamente inserta y con moderado de los coeficientes.

Para comprobar la equivalencia de las dos descripciones, sólo se necesita saber algunos conceptos básicos de integrales y derivadas o la transformada de Fourier, etc.