Integrar

Question

Como en el título: let$m,n\in\mathbb{Z}$. Integrar:

$$ \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy $ $ Para mí, es un problema bastante difícil. ¿Algún consejo?

$R$ es una constante.

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial.

1. Simplificación

En primer lugar, vamos a $I(m,n)$ denotar la integral. Si $\mathcal{D}$ denota el cuadrado con las esquinas $(\pm 2\pi, \pm 2\pi)$, tenemos

\begin{align*} I(m, n) &= \frac{R}{8\pi^2} \iint_{\mathcal{D}} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-\cos x - \cos y} \, dxdy \\ &= \frac{R}{16\pi^2} \iint_{\mathcal{D}} \frac{1-\cos(mx+ny)}{1-\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})} \, dxdy \\ &= \frac{R}{8\pi^2} \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos((m+n)u+(m-n)v)}{1-\cos u \cos v} \, dudv \\ &= \frac{R}{2\pi^2} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos((m+n)u)\cos((m-n)v)}{1-\cos u \cos v} \, dudv, \end{align*}

donde $(u,v) = (\frac{x+y}{2}, \frac{x-y}{2})$. Ahora, en vista de la conexión con el SRW función de Green en $\Bbb{Z}^2$, resulta que $R = 2$ es una elección natural. Así que vamos a

$$ A(m,n) = \frac{1}{\pi^2} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos((m+n)u)\cos((m-n)v)}{1-\cos u \cos v} \, dudv $$

de modo que $ I(m,n) = \frac{R}{2}A(m,n)$.

2. El cómputo de los casos especiales

$\boxed{\text{Case 1}} \ $ Considera el caso de $n = m$. Calculamos el $A(m,m)$ por la primera identificación de su diferencia:

\begin{align*} A(m,m) - A(m-1,m-1) &= \frac{1}{\pi^2} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\cos((2m-2)u)-\cos(2mu)}{1-\cos u \cos v} \, dudv\\ &= \frac{2}{\pi^2} \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin((2m-1)u)\sin u}{1-\cos u \cos v} \, dudv. \end{align*}

Ahora, utilizando la fórmula

$$\int_{0}^{\pi} \frac{d\theta}{1-r\cos\theta} = \frac{\pi}{\sqrt{1-r^2}}, \qquad |r| < 1 $$

nos encontramos con que

\begin{align*} A(m,m) - A(m-1,m-1) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin((2m-1)u) \, du = \frac{4}{\pi}\frac{1}{2m-1}. \end{align*}

Junto con el hecho de que $A(0,0) = 0$, tenemos

$$ \color{blue}{A(m,m) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{|m|} \frac{1}{2k-1}.} $$

$\boxed{\text{Case 2}} \ $ Si $n = m-1$, similar cálculo muestra que

\begin{align*} &A(m+1,m) - A(m,m-1) \\ &\hspace{4em} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left( \frac{\sin(2mu)}{\cos u} + \frac{1}{2}\frac{\cos((2m+1)u) - \cos((2m-1)u)}{\cos u} \right) \, du. \end{align*}

Cada integral puede ser calculada teniendo en cuenta la diferencia de nuevo, y para $m \geq 1$ hemos

$$A(m+1,m) - A(m,m-1) = (-1)^m \left( 2 + \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^{m} \frac{(-1)^k}{2k-1} \right). $$

Por lo tanto se deduce que

$$ \color{blue}{A(m+1,m) = (-1)^m + \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2k-1} \mathbf{1}_{\{k \equiv m \text{ mod 2}\}}}, \qquad m \geq 0 $$

3. Software de cálculos

Como sugiere el Trabajo de Bouwman, podemos aprovechar la harmonicity de $A$ $\Bbb{Z}^2\setminus\{\mathbf{0}\}$ junto con la simetría para mostrar que los anteriores cálculos son suficientes para determinar todos los valores de $A$. El uso de este, me calculada algunos de $A(m,n)$ usando Mathematica:

\begin{array}{c|llllllll} & n=0 & n=1 & n=2 & n=3 & n=4 & n=5 & n=6 & n=7 \\ \hline m=0 & 0 & & & & & & & \\ m=1 & 1 & \frac{4}{\pi } & & & & & & \\ m=2 & 4-\frac{8}{\pi } & \frac{8}{\pi }-1 & \frac{16}{3 \pi } & & & & & \\ m=3 & 17-\frac{48}{\pi } & \frac{92}{3 \pi }-8 & 1+\frac{8}{3 \pi } & \frac{92}{15 \pi } & & & & \\ m=4 & 80-\frac{736}{3 \pi } & \frac{160}{\pi }-49 & 12-\frac{472}{15 \pi } & \frac{48}{5 \pi }-1 & \frac{704}{105 \pi } & & & \\ m=5 & 401-\frac{3760}{3 \pi } & \frac{13292}{15 \pi }-280 & 97-\frac{4472}{15 \pi } & \frac{1996}{35 \pi }-16 & 1+\frac{80}{21 \pi } & \frac{2252}{315 \pi } & & \\ m=6 & 2084-\frac{98104}{15 \pi } & \frac{4936}{\pi }-1569 & 672-\frac{73648}{35 \pi } & \frac{53848}{105 \pi }-161 & 20-\frac{2504}{45 \pi } & \frac{472}{45\pi }-1 & \frac{26032}{3465 \pi } & \\ m=7 & 11073-\frac{521696}{15 \pi } & \frac{2887748}{105 \pi }-8752 & 4321-\frac{284920}{21 \pi } & \frac{1308572}{315 \pi }-1320 & 241-\frac{5248}{7 \pi } & \frac{57476}{693 \pi }-24 & 1+\frac{1048}{231 \pi } & \frac{352276}{45045 \pi } \\ \end{array}

Una observación interesante es que la "parte entera" de $A(m,n)$ parece estar relacionado con la Delannoy números. De hecho, las tablas anteriores se ajusta a la siguiente conjetura:

Conjetura. Si $D$ denota la Delannoy números, entonces para $0 \leq n \leq m$ hemos $$ A(m,n) \in (-1)^n \left( \sum_{k=0}^{m-n-1} D(k,k+2n) \right) + \frac{1}{\pi}\Bbb{Q}. $$

Aunque no tengo idea de cómo el "coeficiente" de $\frac{1}{\pi}$ se determina en general, puede ser posible que podamos leer un combinatoric argumento de la informática $A(m,n)$ fuera de la observación anterior.

Answer 2

Una versión simplificada de mi otra respuesta

Vamos a:

$$ g(m,n) = \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} $$

A continuación, el Laplaciano Discreto de $g(m,n)$ $(m,n)$ dominio es:

$$ \begin{align} \mathbf{D}^2_{mn} \otimes g(m,n) &= -2g(m,n) + \frac{g(m-1,n) + g(m+1,n) + g(m,n-1) + g(m,n+1)}{2} \\ & = \cos(mx+ny) \end{align}$$

Ver: Wolfram alpha

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Ahora definir:

$$ \begin{align} I(m,n) &\equiv \mathbf{D}^2_{mn} \otimes \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy \\ & = \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx+ny) dx dy \\ &= \mathcal{F}(1)\\ &= {\begin{cases} 1 & \text {if %#%#%} \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{casos}} \end{align} $$

que es la identidad del operador de convolución. Esto significa que para cada par de enteros $(m,n)=(0,0)$ la integral es el promedio de las cuatro integrales de sus vecinos directos $(m,n) \neq (0,0)$.

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Es fácil ver que para $\{(m-1,n), (m+1,n), (m,n-1), (m,n+1)\}$ la integral es cero. Para los cuatro directa neigbors $(m,n) = (0,0)$, la integral debe ser $m^2 + n^2 = 1$, debido a que el Laplaciano en $\frac 12$ es uno, y debido a la simetría.

Junto con la integral de la derivada para $(0,0)$ en el respuesta de Sangchul tenemos suficientes valores iniciales de forma recursiva encontrar la otra integrales:

Startvalues

$$ \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(m,n) dx dy = {\begin{cases} 0 & \text {if %#%#%} \\ 0.5 & \text {if %#%#%} \\ \sum_{k=1}^m \frac {2} {\pi(2 k - 1)} & \text {if %#%#%} \\ \end{casos}} $$

Recursiva receta:

Si $m=m$, suponga que $(m,n)=(0,0)$ (simetría), entonces:

$ m^2+n^2 = 1$$

$ m=n$

Answer 3

Sólo una adición a Sangchul Lee la respuesta.

Si explotamos la paridad de la función coseno tenemos que la quería integral es igual a:

$$ I(m,n) = \frac{R}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(nx)\cos(my)}{2-(\cos x+\cos y)}\,dy\,dy $$ y por la escritura $\frac{1}{2-(\cos x+\cos y)}$ $\int_{0}^{+\infty}\exp\left[\left(\cos x+\cos y-2\right)t\right]\,dt$ obtenemos: $$ I(m,n) = R\int_{0}^{\infty}e^{-2t}\left(I_0(t)^2-I_n(t)\,I_m(t)\right)\,dt $$ donde $I_k$ es una función modificada de Bessel de primera especie. Desde la transformada inversa de Laplace de $e^{-2t}$ es sólo $\delta(s-2)$, el problema se reduce a calcular la transformada de Laplace de $I_0(t)^2$$I_n(t)\,I_m(t)$. La transformada de Laplace de $I_0(t)^2$ está relacionado con la integral elíptica completa de primera especie, y tiene una singularidad en $s=2$, donde se comporta como $-\frac{\log|2-s|}{2\pi}$.

En un modo explícito, a partir de: $$ I_0(z) = \sum_{n\geq 0}\frac{z^{2n}}{4^n n!^2} $$ de ello se desprende que, para cualquier $\tau>2$: $$ I_0(z)^2 = \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n n!^2}\,z^{2n},\qquad \int_{0}^{+\infty}I_0(z)^2 e^{-\tau z}\,dz = \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^n \tau^{2n+1}}=\frac{2}{\pi\tau}\,K\left(\frac{2}{\tau}\right) $$ Al menos en principio, podemos realizar el mismo cálculo para $I_m(t)\,I_n(t)$, a continuación, calcular la transformada de Laplace de $I_0(t)^2-I_m(t)\,I_n(t)$ $\tau=2$ a través De l'Hôpital teorema.

Answer 4

Reclamación

La necesaria integral es la inversa de la convolución del operador de la Laplaciano Discreto:

$$ A(m,n) \equiv \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy = [\mathbf{D}^2_{mn}]^{-1}$$

En otras palabras $A(m,n)$ es armónico, excepto en $(m,n) = (0,0)$ ; convoluciona con el Laplaciano discreto $\mathbf{D}^2_{mn}$ obtenemos:

$$A(m,n) \otimes \mathbf{D}^2_{mn} = \begin{cases} 1 & \text {if %#%#%} \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{casos} $$

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Prueba

En el dominio espacial el Laplaciano discreto está dada por:

$(m,n)=(0,0)$$

En el dominio de la frecuencia, esto es:

$$ \mathbf{D}^2_{mn}=\begin{bmatrix}0 & \frac 1 2 & 0\\ \frac 1 2 & -2 & \frac 1 2\\0 & \frac 1 2 & 0\end{bmatrix}$$

Ahora tenemos que:

$$ \widetilde{\mathbf{D}^2}(x,y) = \mathcal{F}(\mathbf{D}^2_{mn}) = (\cos x - 1) + (\cos y - 1) $$

ahora

$$ \begin{align}A(m,n) &= \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy \\ &= \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy - \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy \\ &= \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{-\widetilde{\mathbf{D}^2}(x,y)} dx dy - \frac{1}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos(mx+ny)}{-\widetilde{\mathbf{D}^2}(x,y)} dx dy \\ &= - [\mathbf{D}^2_{mn}]^{-1}(0,0) + [\mathbf{D}^2_{mn}]^{-1} \end{align} $$

con $$ A(m,n) \otimes \mathbf{D}^2_{mn} = (-[\mathbf{D}^2_{mn}]^{-1}(0,0) + [\mathbf{D}^2_{mn}]^{-1})\otimes \mathbf{D}^2_{mn} = 0 + I(m,n) \tag 1$ discreta de identidad operador de convolución:

$$I(m,n) = \begin{cases} 1 & \text {if %#%#%} \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{casos} $$

El primer término en la ecuación (1) es cero, debido a que el Laplaciano de una función constante es cero.

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Por supuesto, cada función lineal $I(m,n)$ puede ser añadido a $(m,n)=(0,0)$ sin alterating su Laplaciano, así que tenemos algunos valores iniciales.

En otras respuestas, ya era deriva que $ f(m,n) = am + bn + c $ y puede ser fácilmente deriva que $A(m,n)$ y que

$ A(0,0) = 0 $$ con $ A(0,\pm1) = A(\pm 1,0) = \frac 12 $ el polygamma función.

Ahora, con estos valores iniciales, y sabiendo que cada valor es el promedio de los cuatro vecinos (armónica), podemos calcular recursivamente todos los demás valores.

Para $$ A(m,m) = \sum_{k=1}^m \frac {2} {\pi(2 k - 1)} = \frac{\psi^{(0)}\left(m+\frac 12 \right) - \psi^{(0)}\left(\frac 12 \right)}{\pi} $ $\psi^{(0)}$ podemos debido a la simetría, suponga que $A(m,n)$ tenemos la relación recursiva:

$m \neq n$$

Answer 5

EDIT: la respuesta a continuación es el límite para$(m,n) \rightarrow \infty$. He agregado otra respuesta recursiva en su lugar.

No creo que se agradezca publicar soluciones sin pruebas aquí, pero lo agregaré más adelante.

Creo que esta es la solución:

ps

con$$ \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy = \frac{R}{\pi}\left(\gamma + \log(4) + \psi^{(0)}\left(\sqrt{\frac{m^2 + n^2}{2}}+ \frac1 2 \right) \right) $ la constante Euler-Mascheroni, y$\gamma = 0.5772.. $ la función polygamma.

(más por venir)