Mostrando que $e^{-2} < \ln 2$

Question

Debo probar la siguiente desigualdad:$e^{-2} < \ln2.$

Usando la desigualdad de Bernoulli, mostré que$2 \leq e$, y usando este resultado traté de simplificar la desigualdad usando una estimación superior para$e^{-2}$ y una estimación más baja para$\ln2$. Usando este método, obtuve ese$e^{-2} \leq \frac{1}{4}$, pero no pude continuar desde ese punto.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Suponiendo que se le permite usar ese$e>2$, tiene ese$$e^2>2^2=4$$ and therefore$$2^{(e^2)}>2^4=16$$ thus $$\ln 2^{(e^2)} > \ln 16 > \ln e =1$$ (however, here I used that $ \ ln$ is a monotone increasing function). Now since the left hand side of the above inequality can be written as $ e ^ ​​2 \ cdot \ ln 2$ you have that $$e^2 \ln 2> 1$$ which gives $$\ln 2 > \frac{1}{e^2}=e^{-2}$ $

Answer 2

Parece que publiqué mi pregunta demasiado temprano, ya que encontré la respuesta después de 2 minutos. Aquí está: De acuerdo con los resultados anteriores, solo tenemos que mostrar que $$ \ frac {1} {4} \ leq \ ln2. $$ Pero$$\frac{1}{4} = \ln e^{\frac{1}{4}}$$ therefore - using the strict monotinicity of the $ \ ln$ function - we only need to prove that $$e^{\frac{1}{4}} \leq 2 \Longleftrightarrow \sqrt[4]{e} \leq \sqrt[4]{2^4}.$ $ Usando la estricta monotonicidad de la función$\sqrt[4]{}$, la desigualdad se simplifica a $$ e \ leq 16. $ $ Pero $$ e = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!}

Answer 3

Si eres lo suficientemente cuidadoso como para manejar los errores de redondeo correctamente en tu dominio, podrías intentar usar un poco de desigualdad con algunas series de Taylor.

Por $x<0$, $\space e^x < 1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} $

$(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4<\log(x)$

Ahora conecte$x=-2$ y$x=2$ en sus respectivos lugares:

$e^{-2}< 1-2+2-\frac{8}{6}+\frac{16}{24} =\frac{1}{3} < \frac{7}{12} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}<\log(2)$

Por lo tanto, comprueba que$e^{-2}<\log(2)$.

Answer 4

Esto es una exageración, pero creo que es interesante, de todos modos. Tenemos que$f(x)=e^x \log(1+x)$ es una función de aumento convexo sobre$[0,1]$, ya que$f'(x)=\frac{e^x}{1+x}+f(x)$. Por lo tanto, la desigualdad de Jensen da:$$ \forall x\in(0,1],\qquad f(x)> f(0)+f'(0)\, x = x, $ $ así$f(1)>1$ da$e\log 2>1$ y$e^{-1}<\log 2$.

El argumento puede mejorarse también. Al mostrar que$f(x)>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ sigue que$e\log 2>\frac{11}{6}$, entonces$e^{-1}<\frac{6}{11}\log 2$ y$e^{-2}<\frac{36}{121}\log^2 2<\frac{3}{10}\log^2 2.$

Answer 5

Otro argumento más, usando las desigualdades$2<e<4$: From$e<4$ obtenemos$1<2\ln2$ so$\ln2>1/2$; de$2<e$ obtenemos$1/2>1/e$. Conclusión:$\ln2>e^{-1}$.