Evaluar

Question

No pude evaluar esta integral. ¿Me podría ayudar?

$$\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^\pi \frac{e^{-i\varphi}}{1-k\cos (\varphi)} \, \mathrm{d}\varphi,\text{ where $ k$ is a constant}$ $

Answer 1

ps

ps

Por lo tanto

ps

Answer 2

Deje$z=e^{-i \phi}$ y use el teorema del residuo. La integral se convierte, suponiendo$|k|<1$:

ps

cuando usas el hecho de que$$-\frac{1}{i 2 \pi} \frac{2}{k}\oint_{|z|=1} dz \frac{z}{z^2-\frac{2}{k}z+1}$.

Esto puede evaluarse con el teorema del residuo. Los polos del integrando están en

ps

Tenga en cuenta que solo$\cos{\phi} = \frac{1}{2}(e^{i \phi}+e^{-i \phi})$ está dentro del círculo unitario. Por el teorema del residuo, la integral es igual a

ps

Answer 3

El seguimiento de Yimin sugerencia: $$ \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{-i\varphi}}{1-k\cos\varphi} \, d\varphi = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos\varphi}{1-k\cos\varphi} \, d\varphi - i\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\varphi}{1-k\cos\varphi} \, d\varphi. $$ Desde la segunda integral es la de un extraño función en un intervalo simétrico con respecto al $0$$0$, y sólo tenemos que trabajar en la primera integral.

La sustitución de Weierstrass es \begin{align} x & = \tan\frac\varphi2 \tag{1}\\[8pt] \frac{1-x^2}{1+x^2} & = \cos\varphi \tag{2}\\[8pt] \frac{2\,dx}{1+x^2} & = d\varphi\tag{3} \end{align} Cómo conseguir $(2)$ $(3)$ $(1)$ usando identidades trigonométricas podría ser discutido aquí (me pregunto si alguien ha publicado que como una pregunta?). También existe la identidad de $\dfrac{2x}{1+x^2}=\sin\varphi$, pero no vamos a necesitar que aquí.

Tenemos $$ \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos\varphi}{1-k\cos\varphi} \, d\varphi = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\frac{1-x^2}{1+x^2}}{1-k\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot\frac{2\,dx}{1+x^2} $$ $$ = \int_{-\infty}^\infty \frac{1-x^2}{(1+x^2)-k(1-x^2)}\cdot\frac{2\,dx}{1+x^2} $$ $$ = \int_{-\infty}^\infty \frac{1-x^2}{(1-k)+(1+k)x^2}\cdot\frac{2\,dx}{1+x^2} $$ $$ = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{Ax+B}{(1-k)+(1+k)x^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2} \right) \, dx $$ etc. La antiderivada debe involucrar a los logaritmos y/o arctangents.