Nos muestran que $\sin(t)\cos(\pi t)$ es no periódica. Supongamos que al contrario, que es periódico. Deje $f(t)=|\sin(t)\cos(\pi t)|$. A continuación, $f(t)$ es periódica. Deje $p$ ser un período de $f(t)$.
Deje $m$ ser el valor máximo de $f(t)$ en el intervalo de $[0,p]$. Si $f(t)$ es periódica, entonces $m$ es el valor máximo de $f(t)$ $t$ rangos de todos los reales. Vamos a mostrar que este no es el caso, por mostrar que existe una $t$ tal que $f(t)>m$.
Nota primero que $m\ne 1$. Por si $f(t)$ nunca toma el valor de$1$, $|\sin(t)|$ $|\cos(\pi t)|$ debe ser al mismo tiempo igual a $1$. Por lo $t$ es una extraña múltiples de $\pi/2$, decir $t=q \pi/2$. También, $\pi t$ es un múltiplo de a $\pi$, lo $t$ es un número entero. De ello se desprende que $\pi=2t/q$. Esto es imposible, ya $\pi$ es irracional.
Ahora nos muestran que hay un $t$ tal que $f(t)>m$. Esto es fácil, pero usa un poco de maquinaria.
La secuencia de $(\sin(n))$ es denso en el intervalo de $[-1,1]$. Por lo tanto no es un número entero $t$ tal que $\sin(t)>m$. Desde $|\cos(\pi n)|=1$, se deduce que el $f(t) >m$.
Comentario: Una búsqueda rápida muestra que hay muchas pruebas de que el hecho de que la secuencia de $(\sin(n))$ es denso en $[-1,1]$. De hecho, el problema ha sido planteado y resuelto en el MSE. El más intuitivo argumento muestra que los puntos de $(\cos(n), \sin(n))$ son densos en el círculo unidad. El resultado de $(\sin(n))$, luego sigue proyectando en el $y$-eje. En general, si $\theta$ no es un racional múltiples de $\pi$, entonces los puntos de $(\cos(n\theta), \sin(n\theta))$ son densos en el círculo unidad.