Período de un producto de$\sin$ y$\cos$

Question

Quiero encontrar el período de$\sin(t) \cos(\pi t)$.

Comencé transformando eso en$\frac{1}{2}\left [ \sin((\pi +1)t) - \sin((\pi - 1)t\right ]$, pero luego me quedé atascado. ¿Cómo encuentro el mínimo común múltiplo de$\pi + 1$ y$\pi - 1$? ¿Es eso lo que tengo que hacer para encontrar el período de todo?

Answer 1

Nos muestran que $\sin(t)\cos(\pi t)$ es no periódica. Supongamos que al contrario, que es periódico. Deje $f(t)=|\sin(t)\cos(\pi t)|$. A continuación, $f(t)$ es periódica. Deje $p$ ser un período de $f(t)$.

Deje $m$ ser el valor máximo de $f(t)$ en el intervalo de $[0,p]$. Si $f(t)$ es periódica, entonces $m$ es el valor máximo de $f(t)$ $t$ rangos de todos los reales. Vamos a mostrar que este no es el caso, por mostrar que existe una $t$ tal que $f(t)>m$.

Nota primero que $m\ne 1$. Por si $f(t)$ nunca toma el valor de$1$, $|\sin(t)|$ $|\cos(\pi t)|$ debe ser al mismo tiempo igual a $1$. Por lo $t$ es una extraña múltiples de $\pi/2$, decir $t=q \pi/2$. También, $\pi t$ es un múltiplo de a $\pi$, lo $t$ es un número entero. De ello se desprende que $\pi=2t/q$. Esto es imposible, ya $\pi$ es irracional.

Ahora nos muestran que hay un $t$ tal que $f(t)>m$. Esto es fácil, pero usa un poco de maquinaria.

La secuencia de $(\sin(n))$ es denso en el intervalo de $[-1,1]$. Por lo tanto no es un número entero $t$ tal que $\sin(t)>m$. Desde $|\cos(\pi n)|=1$, se deduce que el $f(t) >m$.

Comentario: Una búsqueda rápida muestra que hay muchas pruebas de que el hecho de que la secuencia de $(\sin(n))$ es denso en $[-1,1]$. De hecho, el problema ha sido planteado y resuelto en el MSE. El más intuitivo argumento muestra que los puntos de $(\cos(n), \sin(n))$ son densos en el círculo unidad. El resultado de $(\sin(n))$, luego sigue proyectando en el $y$-eje. En general, si $\theta$ no es un racional múltiples de $\pi$, entonces los puntos de $(\cos(n\theta), \sin(n\theta))$ son densos en el círculo unidad.

Answer 2

Aquí hay una prueba más autónoma de que$f(t) = \sin(t) \cos(\pi t)$ no es periódico, usando solo el hecho de que$\pi$ es irracional. Si$f(t)$ tuviera período$p$, entonces también tendríamos$f(p) = f(0) = 0$. Ahora esto implica o bien$\sin(p) = 0$, es decir,$p = n \pi$ para un entero distinto de cero$n$ o$\cos(\pi p) = 0$, es decir,$p = n+1/2$ para un entero entero$n$. Pero $$f(1/2 + n \pi) - f(1/2) = (-1)^{n+1} \sin(1/2) \sin(n \pi^2) \ne 0$$ since neither $1/2$ nor $n \ pi ^ 2$ is an integer multiple of $\ pi$ (if it were $m \ pi$, then $\ pi = m / n$ sería racional). Del mismo modo, $$f(\pi + (n+1/2)) - f(\pi)= (-1)^n \sin(\pi^2) \sin(n+1/2) \ne 0$$ since neither $\ pi ^ 2$ nor $n + 1/2$ is an integer multiple of $\ pi$.

Answer 3

Supongamos que hay un común múltiplo $p$$\pi+1$$\pi-1$. Entonces $$\begin{align} p & = n(\pi+1) \\ p & = m(\pi-1) \end{align}$$

(Nota posterior: El contexto del problema debe aclarar que esto significa $n$ $m$ son enteros positivos.)

De ello se sigue a través de un poco de álgebra que $$\pi=\frac{n+m}{n-m}.$$ Por lo tanto, $\pi$ es racional. Pero en este artículo se demuestra que la $\pi$ es irracional. Al menos dos de las pruebas que allí se indican puede ser entendido por alguien que no sabe nada más allá del primer año de cálculo.

La función es, por tanto, no periódica, pero es casi periódicas.