Pregunta de Facebook (Ciencia de datos)

Question

Por curiosidad, aquí hay una pregunta de Glassdoor (Entrevista de Ciencia de Datos de Facebook)

Estás a punto de tomar un avión a Seattle. Quieres saber si deberías llevar un paraguas. Llamas a 3 amigos tuyos que viven allí al azar y les preguntas independientemente si está lloviendo. Cada uno de tus amigos tiene una probabilidad de 2/3 de decirte la verdad y una probabilidad de 1/3 de molestarte mintiendo. Los 3 amigos te dicen que "Sí" está lloviendo. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté lloviendo en Seattle?

Usando un análisis bayesiano, es bastante claro que no puedes resolver esto sin la probabilidad previa de que esté lloviendo en Seattle.

Sin embargo, aquí hay un enfoque diferente que encontré interesante en la discusión contenida en Glassdoor.

Dado que los tres amigos dijeron "Sí", la pregunta básicamente se reduce a cuál es la probabilidad de que los tres amigos estén diciendo la verdad dado que los tres amigos dijeron "Sí". Dado que les preguntas a los tres amigos independientemente, la probabilidad de que los tres amigos estén diciendo la verdad se da por (2/3)(2/3)(2/3) = 8/27. Por lo tanto, la probabilidad de que esté lloviendo es 8/27.

Aunque esto es quizás un tanto convincente, no estoy seguro de si es correcto. ¿Alguien tiene alguna idea?

¡Gracias!

Answer 1

Para expresarlo de forma un poco más formal... Sea $p_r$ la probabilidad previa de lluvia ($p_n\equiv 1-p_r$). Entonces, la probabilidad de lluvia dado 3 respuestas "sí" $\{y,y,y\}$ es

$$ \mathsf{P}(\text{lluvia}\mid \{y,y,y\})=\frac{\mathsf{P}(\text{lluvia}\cap\{y,y,y\})}{\mathsf{P}(\{y,y,y\})} \\ =\frac{\mathsf{P}(\{y,y,y\}\mid\text{lluvia})\cdot p_r}{\mathsf{P}(\{y,y,y\}\mid\text{lluvia})\cdot p_r+\mathsf{P}(\{y,y,y\}\mid\text{no lluvia})\cdot p_n} $$

Luego, si asumimos la independencia condicional de las respuestas de los amigos, la última fórmula se convierte en

$$ =\frac{(2/3)^3\cdot p_r}{(2/3)^3\cdot p_r+(1/3)^3\cdot p_n}=\frac{p_r}{p_r+ p_n/8}. $$

Answer 2

Cada uno de los análisis anteriores falla al evaluar la lógica de la pregunta principalmente en su enfoque. Dado que los tres dicen que está lloviendo, no puedes abordar la solución determinando la propensión de cada amigo a decir la verdad. Para que no esté lloviendo, TODOS deben estar mintiendo. Por lo tanto, la solución debe ser la inversa de la probabilidad de que los tres te estén "engañando". (1/3)x(1/3)x(1/3)=1/27 (3.7% de probabilidad de que estén mintiendo). Dado que solo hay un 3.7% de probabilidad de que los tres amigos te estén engañando, hay un 96.3% de probabilidad de que esté lloviendo.

Answer 3

Tu aritmética está equivocada, pero ese no es el peor problema con tu método.

¿Aplicarías la misma lógica si la pregunta fuera "hay dos lunas azules en el cielo"?

Answer 4

** Editado **

Suponiendo que la posibilidad anterior de lluvia en cualquier día es de 0.25, P(lluvia dado que los tres dicen sí) se puede calcular utilizando el teorema de Bayes

es decir, P(R|YYY) = P(R)*P(YYY|R)/P(YYY)

P(YYY) = todos dicen la verdad cuando llueve + todos mienten cuando no llueve = 0.25 * (2/3)^3 + 0.75 * (1/3)^3

P(R|YYY) = 0.25 * (2/3)^3 / (0.25 * (2/3)^3 + 0.75 * (1/3)^3) = 8 / (8 + 3) = 8/11

Answer 5

Estás completamente en lo correcto acerca del análisis bayesiano. Es correcto decir que la probabilidad es 8/27 (no 8/9) de que todos digan la verdad, antes del experimento. Sin embargo, después del experimento, tienes tres respuestas. Si en la zona es poco probable que llueva (por ejemplo, en el desierto), las tres respuestas de 'sí' son prueba de dos cosas: a) podría estar lloviendo en realidad b) están mintiendo.

Entonces, después del experimento, la probabilidad no es 8/27 de que estén diciendo la verdad, porque las respuestas que dan son prueba de su honestidad.

Hay algunos trucos de cálculo que no mucha gente conoce. El 2/3 se puede ver como un cambio de probabilidad previa de 1/2 a 2/3, incluso si la probabilidad previa no es 1/2. Ahora, si tomas el "Odd", que es $p / (1-p)$, entonces simplemente puedes multiplicarlos. $Odd(2/3) = 2$. Si tu probabilidad previa es $1/10$, entonces el $Odd(1/10) = 1/9$. Por tres veces sí, lo multiplicas por 2 tres veces. Obtienes 8/9. De vuelta a la probabilidad normal, obtienes $8/17$.