Estoy trabajando en Aluffi del Álgebra: Capítulo $0$ libro de texto, y en el Capítulo 3, Ejercicio 2.12 le pide a uno para determinar el cokernel en $\sf{Ring}$ de la involucración $i \colon \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$. En el comienzo del Capítulo 3, Sección 5, se sugiere que la respuesta es tal vez extraño, cuando dice: "También, cokernels no se comportan como sería de desear, [en $\sf{Ring}$]" y, a continuación, hace referencia a este ejercicio.
Tenga en cuenta que Aluffi se supone que todos los anillos son unital y que el anillo de homomorphisms enviar$1$$1$.
Aquí está mi pregunta: Es la declaración de mal definidos (o tal vez vacuo-no es exactamente seguro de que la descripción es más preciso)? A mí me parece que el programa de instalación de la cokernel en esta situación, es necesario comenzar con un anillo homomorphism $\varphi \colon \mathbb{Q} \to R$ donde $R$ es algún anillo, satisfaciendo $\varphi(i(n)) = 0$ todos los $n \in \mathbb{Z}$, pero, a continuación, $\varphi(i(1)) = \varphi(1) = 0$ contradecir la existencia de un anillo homomorphism $\varphi$ (asumiendo $R$ no es trivial).
Me estoy perdiendo algo? Si estoy en lo cierto hasta el momento, entonces rápidamente se da cuenta de que el mismo problema se produce por cada anillo homomorphism $\varphi \colon R \to S$. Si esto es cierto, es mejor decir que "cokernels no existe" o que "cokernels no están bien definidos" en $\sf{Ring}$?
