Una variable aleatoria mayor/menor que otra independiente

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son independientes. Para ser concretos, supongamos $X$ es $N(0,a)$ y $Y$ es $N(0,b)$ . Para cualquier escalar c,d con c < d, ¿hay alguna forma de acotar la siguiente probabilidad desde arriba en términos de a,b,c,d?

$P(cX<Y<dX)$

Answer 1

He aquí algunas ideas para el cálculo explícito de la integral. Definir $\Delta:=\{(x,y)\in\mathbb R^2,cx\lt y\lt dx\}$ . Entonces $$P(cX\lt Y\lt dX)=(2\pi ab)^{-1}\iint_\Delta\exp\left(-\frac{y^2}{2b^2}\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2a^2}\right)\mathrm dy\mathrm dx.$$ La integral interna es $\int_{cx}^{dx}\exp\left(-\frac{y^2}{2b^2}\right)\mathrm dy$ que se puede reescribir como $x\int_c^d\exp\left(-\frac{x^2t^2}{2b^2}\right)\mathrm dt$ después de una sustitución.

A continuación, cambia las integrales.

Answer 2

Ahora que los deberes están pasados, aquí está la solución sugerida en los comentarios de @whuber comentarios.

Suponiendo que $a$ y $b$ son las desviaciones típicas de las variables independientes variables aleatorias normales de media cero, que $c < d$ como dice el OP,

$$\begin{align} P\{cX < Y < dX\} &= P\left\{\frac cb X < \frac Yb < \frac db X\right\}\\ &= P\left\{\left(\frac {ac}{b}\right) \frac Xa < \frac Yb < \left(\frac {ad}{b}\right) \frac Xa\right\}\\ &= P\left\{\alpha \hat{X} < \hat{Y} < \beta \hat{X}\right\} \end{align}$$ donde $\alpha = ac/b < \beta = ad/b$ y $\hat{X}$ y $\hat{Y}$ son variables aleatorias normales independientes. Esta es la probabilidad de que el punto aleatorio $\left(\hat{X}, \hat{Y}\right)$ mentiras por encima de la línea $ y = \alpha x$ y debajo de la línea $y = \beta x$ en el $x$ - $y$ plano, que es una región en forma de cuña entre las dos líneas de pendientes $\alpha$ y $\beta$ . Pero, como $\left(\hat{X}, \hat{Y}\right)$ tienen una distribución conjunta circularmente simétrica esta probabilidad es simplemente

$$P\{cX < Y < dX\} = P\left\{\alpha \hat{X} < \hat{Y} < \beta \hat{X}\right\} = \frac{\arctan(\beta) - \arctan(\alpha)}{2\pi} = \frac{\arctan(ad/b) - \arctan(ac/b)}{2\pi}.$$ Obsérvese que la probabilidad no puede ser superior a $\frac 12$ .