Acerca de los espacios de Banach y la convergencia absoluta de la serie

Question

Cómo probar las dos afirmaciones siguientes:

1. Si en un espacio normativo$X$, la convergencia absoluta de cualquier serie siempre implica la convergencia de esa serie, entonces$X$ es un espacio de Banach.

2. En un espacio de Banach, la convergencia absoluta de cualquier serie siempre implica la convergencia de esa serie.

Answer 1

Tome una secuencia de Cauchy$x_k$. Entonces puede encontrar una subsecuencia$n_k$ tal que$|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}| < 2^{-k}$. Dejar $y_k = x_{n_{k+1}}-x_{n_k}$. Entonces$\sum y_k$ es absolutamente convergente y, por hipótesis, converge. Pero$\sum_{k=1}^N y_k = x_{n_N} - x_{n_1}$ y, por lo tanto,$x_k$ tiene una subsecuencia convergente. Pero como$x_k$ es Cauchy, toda la secuencia es convergente.