Incidencia del BSC: es $\|x\|^2\|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2$ un cuadrado de alguna manera obvia?

Question

Supongamos que $x=(x_1,x_2),y = (y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$ . Me he dado cuenta de que \begin{align*} \|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2 &= x_1^2y_1^2 + x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_1^2 + x_2^2 y_2 ^2 - (x_1^2 y_1^2 + 2 x_1 y_1 x_2 y_2 + x_2^2 y_2^2) \\ &=(x_1 y_2)^2 - 2x_1 y_2 x_2 y_1 + (x_2 y_2)^2 \\ &=(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \end{align*} que demuestra la desigualdad CSB en dimensión dos. Esto plantea la pregunta:

Si $x = (x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n$ ¿existe un polinomio $p \in \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n;y_1,\ldots,y_n]$ tal que $ \|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2 = p^2$ ?

Answer 1

No (no es un cuadrado de un polinomio para $n \ge 3$ ), pero la generalización correcta, demostrando que es no negativo, es que es un suma de cuadrados .

Por ejemplo, para $n = 3$ , $$ \begin{align*} \|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2 &= (x_1y_2 - x_2y_1)^2 + (x_2y_3-x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2, \end{align*} $$

y en general $$ \begin{align*} \|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2 &= \sum_{i < j}(x_iy_{j} - x_{j}y_{i})^2 \end{align*} $$

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Esto es fácil de demostrar algebraicamente: el lado izquierdo es

$$ \begin{align*} \|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2 &= (\sum{x_i^2}\sum{y_j^2}) - (\sum{x_iy_i})^2 \\ &= \sum_{i=j}{x_i^2 y_j^2} + \sum_{i\neq j}{x_i^2y_j^2} - \sum_{i=j}{x_iy_ix_iy_i} - \sum_{i\neq j}{x_iy_ix_jy_j} \\ &= \sum_{i<j}{(x_i^2 y_j^2 + x_j^2 y_i^2)} - \sum_{i<j}{2x_iy_ix_jy_j} \\ &= \sum_{i<j}{(x_i^2 y_j^2 - 2x_iy_jx_jy_i + x_j^2y_i^2)} \\ &= \sum_{i < j}(x_iy_{j} - x_{j}y_{i})^2 \end{align*} $$

Esta identidad se conoce como La identidad de Lagrange .

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Esto también muestra que el tamaño de la mano izquierda es cero cuando para todos los pares $(i,j)$ tenemos $x_iy_j - x_jy_i = 0$ es decir, $$\frac{y_i}{x_i} = \frac{y_j}{x_j}$$ (supongamos que el $x_j$ s son distintos de cero, por ahora), que es otra forma de decir que un vector es múltiplo del otro, es decir, la igualdad se mantiene en la desigualdad cuando los dos vectores son paralelos.

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Para la primera (que muestra que no es el cuadrado de un polinomio), considere por ejemplo $n=3$ . Si $\|x\|^2 \|y\|^2 - \langle x,y \rangle^2$ es el cuadrado de un polinomio $p(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3)$ entonces podemos escribir el polinomio como $qx_1 + r$ , donde $q = q(x_2, x_3, y_1, y_2, y_3)$ y $r = r(x_2, x_3, y_1, y_2, y_3)$ son polinomios que no dependen de $x_1$ . Como $(qx_1+r)^2 = q^2x_1^2 + 2qrx_1 + r^2$ el coeficiente de $x_1^2$ debería ser un cuadrado, pero el coeficiente es $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - y_1^2 = y_2^2 + y_3^2$ (o en general, $\sum_{i=2}^{n}y_i^2$ ), que no es el cuadrado de un polinomio. (Demostrado de forma similar: si es el cuadrado de $qy_2 + r$ , entonces se comparan los coeficientes de $y_2^2$ da $q \equiv 1$ y comparando los coeficientes de $y_2$ da $r \equiv 0$ que no es coherente con el resto).

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Como señala Erick Wong en los comentarios, esto está relacionado con (la solución de) El decimoséptimo problema de Hilbert que dice que cualquier polinomio que toma sólo valores no negativos puede escribirse como una suma de cuadrados de funciones racionales. Si sólo nos importan las representaciones como suma de cuadrados de polinomios cualquier polinomio no negativo puede aproximarse tanto como se desee con una suma de cuadrados de polinomios. Véase, por ejemplo, el libro Polinomios positivos y sumas de cuadrados ( ver ).

Answer 2

Cuando $n\ge3$ , $\|x\|^2\|y\|^2 - \langle x,y\rangle^2$ no es el cuadrado de ningún polinomio $p(x,y)$ . Mantenga todas las entradas que no sean $x_1$ fijo y dejar que \begin{align*} q(x_1) &= \|x\|^2\|y\|^2 - \langle x,y\rangle^2,\\ \Rightarrow q\,'(x_1) &= 2(x_1 \|y\|^2 - y_1\langle x,y\rangle) \end{align*} Si $q$ es un polinomio al cuadrado, algún cero de $q\,'$ debe ser un cero de $q$ . Sin embargo, cuando $x=(x_1,1,0,0,\ldots,0)$ y $y=(1,0,1,0,0,\ldots,0)$ tenemos $q\,'(x_1)=2x_1$ y $q(x_1)=2(x_1^2+1)-x_1^2$ . Por lo tanto, el único cero de $q\,'$ es $x_1=0$ pero $q(0)=2\neq0$ . Por lo tanto, $q$ no es un polinomio al cuadrado.

Answer 3

$\sum x_i^2\sum y_i^2-(\sum x_iy_i)^2$

$=\sum x_i^2y_i^2+\sum_{i\neq j} x_i^2y_j^2-\sum x_i^2y_i^2-\sum_{i\neq j} x_iy_ix_jy_j$

$=\sum_{i<j} (x_iy_j-x_jy_i)^2$

Answer 4

La inigualdad de la CSB puede ser generalizada: El determinante de la matriz de Gramian es igual o mayor que un cero. Y la igualdad significa la dependencia lineal del sistema de vectores. En el caso de dos vectores $u$ y $v$ tenemos:

$$ 0 \leqslant \begin{vmatrix} \langle u,u \rangle & \langle u,v \rangle \\ \langle v,u \rangle & \langle v,v \rangle \\ \end{vmatrix} = \|u\|^2 \cdot \|v\|^2 - \langle u,v \rangle^2 $$

Por lo tanto, es otra prueba de CSB.