Soluciones de$x^3 + (x+4)^2 = y^2$

Question

Quiero resolver la ecuación anterior en enteros. Estoy bastante seguro de que las únicas soluciones son$(x,y) = (0, \pm 4)$, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

Una sutil prueba técnica llamada prueba por SageMath:

E = EllipticCurve([0,1,0,8,16])  
E.integral_points(both_signs=True)

lo que da:

[(0 : -4 : 1), (0 : 4 : 1)]

donde los números en el constructor de la EllipticCurve son los de Weierstrass coeficientes de la curva. Para su referencia, la Weirstrass coeficientes se define como una lista de $[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]$, donde la curva es de la forma $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$.

Pruébalo aquí!

No quiero dar una no-respuesta, pero en general creo que no es una buena manera de probar estas cosas, excepto con el hecho de que tenemos la terminación de los algoritmos para encontrar las soluciones. No he mirado en este caso específico muy de cerca (puede ser un truco), pero la prueba por SageMath es técnicamente suficiente.

Un par de palabras de moda para que usted continúe su búsqueda, si usted está interesado: "weirstrass equation", "elliptic curve", "finite fields".

Aquí hay también un par de matemáticas de desbordamiento de respuestas que son un poco más detallada:

Link 1

Enlace 2

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Editar El contexto de que esta es una olimpiada pregunta significa que debe haber una manera más prolija. He tenido más tiempo para ver esta así:

Queremos encontrar todos los enteros soluciones a $x^3 + (x+4)^2 = y^2$. Primero observe que podemos escribir esto como una diferencia de dos cuadrados:

$$ \begin{align} x^3 + (x+4)^2 &= y^2 \\ x^3 &= y^2 - (x+4)^2 \\ x^3 &= (y+(x+4))(y-(x+4)) \\ x^3 &= (y+x+4)(y-x-4) \end{align} $$

Now, since $x$ and $s$ are integers, $(x+y+4)(y-x-4)$ must be an integer factorization of $x^3$. The ways to factor $x^3$ into two factors, if $x$ is prime, are:

• $x^3 \cdot 1$
• $1 \cdot x^3$
• $x \cdot x^2$
• $x^2 \cdot x$

Simplemente podemos enumerar a través de cada uno de estos para los factores en el lado derecho de la ecuación y ver que da entero de soluciones.

Para el ex. si tratamos de la tercera factorización, obtenemos $(y+x+4) = x$$(y-x-4) = x^2$. La primera ecuación da $y = -4$ y sustituyendo en la segunda da $x^2 + x + 8 = 0$ a que no se entero de soluciones y por lo tanto esta factorización no funciona.

Si todos los de estos, usted notará que no hay valores enteros de a $x$ o $y$ satisfacer cualquiera de los factorizations. Esto deja una posibilidad: que $x^3 = 0$ e lo $x = 0$. La evaluación de esta en el lado derecho, obtenemos $(y+0+4)(y-0-4) = 0$ y así:

$$ (y+4)(y-4) = 0 \\ \implica y = \pm 4 $$

Thus the only solutions are $(x, y) = (0, \pm 4)$.

Correction:

Comment is correct, this only holds for prime $x$. Perhaps develop what could be done if $x$ no es primo o mostrar esto no puede ser así? Esto podría ser un buen lugar de partida.